西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY一、初等因子的定义把矩阵 AeCnxn的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A的初等因子
一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 把矩阵 的每个次数大于零的不变因子 称为A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 n n A C
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1、若12级复矩阵A的不变因子是：1,1, ..,1,(a -1)",(a -1)(a +1),(a -1)*(a +1)(a? +1)9个则A的初等因子有7个，它们是(a-1)", (a-1)", (a-1), (a+1), (a+1),(a+i), (a-i)
2 2 2 2 2 1 ,1 , ,1, ( 1) ，( 1) ( 1), ( 1) ( 1)( 1) 9个 则A的初等因子有7个，它们是 2 2 2 ( 1) , ( 1) , ( 1) , ( 1), ( 1), 例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 2 2 ( i) , ( i)
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、初等因子与不变因子的关系分析：①设n级矩阵A的不变因子为已知：d,(x), d,(x), ., dn(x)将d,(x)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积：d(x) =(a-2,)h(a-2)k12 ...(a-d2(x) =(-a)21(a-22)k2 ..(-,)2rd,(x) =(a-2)km(a-2)kn2 ...(a-)
① 设n级矩阵A的不变因子为已知： 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 将 分解成互不相同的一次因式 的方幂的乘积: 11 12 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x 21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n nr k k k n r d x 分析: ( ) ( 1,2, , ) i d x i n
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY则其中对应于k;≥1的那些方幂：(a-α,)ki (ki,≥1)就是A的全部初等因子注意到不变因子 d,(x),d,(x),,d,(x)满足d,(x)/di+i(x), i =1,2,..",n-1从而有(a-a,)" (a-a,)+, i=1,2,, n-1, j=1,2,..r因此有，ki,≤k2,≤≤kmj，j=1,2,,r
则其中对应于 的那些方幂 : 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 满足 1 ( )| ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n 从而有 1, ( ) |( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j i n j r 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r 1 i j k ( ) ( 1) i j k j i j k 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在d（2）的分解式中，次高的必出现在d,-(a)的分解式中如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的. ( ) n d 1( ) n d