第九节 二阶常糸数线性微分方程
第九节 二阶常糸数线性微分方程
、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y()+Py++Py+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 +py+qy=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+py+gy=f(r)
一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 特征方程法 设y=c,将其代入上方程得 (r2+pr+q)e"=0 ≠0 故有r2+p+g=0—特征方程 特征根2=P±、D2-44 2
二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
有两个不相等的实根△>0) 特征根为=-P+P2-4 P 4 9 2 2 两个线性无关的特解 r. y2 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e;
有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
有两个相等的实根(△=0) 特征根为=1=-,一特解为y1=cn, 2 设另一特解为y2=u(x)ex 将y 代入原方程并化简 "+(2r1+p)u2+(r12+pr1+q)u=0, 知"=0,取m(x)=x,则y2=xe, 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e F1
有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为