例如f(x) x≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且f(0)=0(m=01.2,) m lim m 比如f(0)= e XX 0 x→>0x-0x→>0 x→>0 2e oo f(x)的麦氏级数为∑0.x 1= 该级数在(-∞,+0)内和函数s(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导, 0 lim x → f (0) = = − − − 0 0 2 1 x e x 0 lim x → = 2 1 1 x e x 0 lim x → 2 1 2 x e x 比如 = 0
定理2f(x)在点x的泰勒级数,在U。(x)内收 敛于f(x)兮在U。(x0)内 lim R(x)=0 证明 设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑ nc()(x0(x-x0)2+Rn(x) i R,(x)=f(x)-Sm+(),. lims(x)=f(x) n→>00 lim r,(x)=limlf(x)-sm(x)=0
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;