将(X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机 变量X和Y的联合分布函数为 F(x,y)=∑∑Pn (1.2) xisxyisy 其中和式是对一切满足xxyy的来求和的
12 将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机 变量X和Y的联合分布函数为 ( , ) , (1.2) = x x y y i j i j F x y p 其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的
与一维随机变量相似,对于二维随机变量(X,Y 的分布函数F(xy),如果存在非负的函数(xy) 使对于任意x,y有 y rx F(x,y)= f(u,vdudv 则称(XY是连续型的二维随机变量,函数f(xy) 称为二维随机变量(x,Y)的概率密度,或称为随 机变量X和Y的联合概率密度
13 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y) 的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y) 使对于任意x,y有 ( , ) ( , )d d , - - = y x F x y f u v u v 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随 机变量X和Y的联合概率密度
按定义,概率密度八x)具有以下性质 1,f(x2y)≥0. f(x,ydxdy=l 3,设G是xOy平面上的区域,点(X,Y落在G内 的概率为 P(X,Y)EG=lf(r,y)dxdy(1.3) 4.若(xy)在点(x2)连续,则有 8 F(,y)=f(x,y) Oxo
14 按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质: 1, f(x,y)0. 2, ( , )d d =1. - - f x y x y {( , ) } ( , )d d . (1.3) = G P X Y G f x y x y 3, 设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内 的概率为 4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有 ( , ). ( , ) 2 f x y x y F x y =
由性质4,在f(x,y)的连续点处有 mPx<Xsx+△,y<Ysy+△y △x->0 △x△ △y→>0 mA4[F(x+△x,+△y)-F(x+△x,y) △x->0 △y->0 F(x,y+△y)+F(x,y F(x,y f(,y) orok
15 由性质4, 在f(x,y)的连续点处有 ( , ). ( , ) ( , Δ ) ( , )] [ ( Δ , Δ ) ( Δ , ) Δ Δ 1 lim Δ Δ { Δ , Δ } lim 2 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 f x y x y F x y F x y y F x y F x x y y F x x y x y x y P x X x x y Y y y y x y x = - + + = = + + - + + + + + + + → → → →
这表示若fx,y)在点x2y)处连续,则当△x,y很 小时 P{x<x+△x,yy+△y}≈/(x,y)△x△y, 即(X,Y落在小长方形(x,x+△Ax]×x(+△y内的概 率近似等于(xy)△xAy 在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面,由性质 2知,介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲 面z=f(xy)为顶面的柱体体积
16 这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很 小时 P{x<Xx+Dx, y<Yy+Dy}f(x,y)DxDy, 即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概 率近似等于f(x,y)DxDy. 在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质 2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲 面z=f(x,y)为顶面的柱体体积