2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 2002-2003学年第二学期概阜论与教理统计(B)期來考试试卷答食 填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 1.设A、B、C是三个随机事件,则“A、B、C这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随 机事件可用A、B、C表示为 解 其表示方法为 ABc 或者 A∪BUC 或者 ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪AB 应填:ABC,或者A∪B∪C,或者ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC 2.设随机变量X的密度函数为 f(x) l≤x≤2 其它 则k 解 由∫f(xkx=1,得 k2+ 所以,k=2 应填 3.在l~1000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是 解 设A={在-100取一个整数能够被6整除} B={在~100取一个整数能够被8整除} 第1页共9页
2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 1 页 共 9 页 2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 一．填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件，则“ A 、B 、C 这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随 机事件可用 A 、 B 、C 表示为__________________． 解： 其表示方法为 ABC ， 或者 A B C ， 或者 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ． 应填： ABC ，或者 A B C ，或者 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ． 2．设随机变量 X 的密度函数为 ( ) − = 0 其它 1 2 1 1 2 x x k f x 则 k =________． 解： 由 ( ) = 1 + − f x dx ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + = − + − + − 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 dx x f x dx f x dx f x dx f x dx k 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 k k x k x = − + = + = + 所以， k = 2． 应填： 8 1 3．在 1~1000 的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是 _________________________． 解： 设 A = 在1~1000中任取一个整数能够被6整除 B = 在1~1000中任取一个整数能够被8整除
2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 C=在l~100中任取一个整数既不能被6整除,又不能被8整除} 则C=AB,所以, P(C)=P(B)=P(A∪B)=1-P(4B)=1-P(4)-P(B)+P(AB) 166125413 1000100010004 3 4.设X~(m),则x2 解 由于X~(),则x可以写为X=,其中随机变量y与Z相互独立,Y~NO,1 Z~x2(n).因此y2~x2(),所以F2y2-F(,m) 应填:F(L,n) 5.设总体X~B(,p),(X,X2,…,X)是从总体X中抽取的一个样本,则参数p的矩估 计量为p 解 由于X~B(,p),所以E(x)=p,将E(X)用样本均值X来替代,得参数p的矩估计量为 p=X 应填:X 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内 1.设随机变量X~N(-1,2),Y~N(2),而且X与不相关,令U=aX+y,V=X+bY 且U与V也不相关,则有 (4).a=b=0:(B)a=b≠0:(C)a+b=0:(D)ab=0 解 cov(U, v)=covlar+Y, X+br) 第2页共9页
2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 2 页 共 9 页 C = 在1~1000中任取一个整数既不能被6整除，又不能被8整除 则 C = AB ，所以， P(C) = P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 1− P(A)− P(B)+ P(AB) 4 3 1000 41 1000 125 1000 166 = 1− − + = ． 应填： 4 3 ． 4．设 X ~ t(n) ，则 ~ 2 X __________________． 解： 由于 X ~ t(n) ，则 X 可以写为 n Z Y X = ，其中随机变量 Y 与 Z 相互独立， Y ~ N(0, 1) ， Z (n) 2 ~ ．因此 ~ (1) 2 2 Y ，所以 F( n) n Z Y X ~ 1, 2 2 = ． 应填： F(1, n)． 5． 设总体 X ~ B(1， p)，( ) X1， X2，， Xn 是从总体 X 中抽取的一个样本，则参数 p 的矩估 计量为 p ˆ =_____________________． 解： 由于 X ~ B(1， p) ，所以 E(X ) = p ，将 E(X ) 用样本均值 X 来替代，得参数 p 的矩估计量为 p ˆ = X 应填： X ． 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量 X ~ N(−1, 2)，Y ~ N(1, 2) ，而且 X 与 Y 不相关，令 U = aX +Y ，V = X +bY ， 且 U 与 V 也不相关，则有 (A). a = b = 0 ； (B). a = b 0 ； (C). a +b = 0 ； (D). ab = 0． 【 】 解： cov(U, V) = cov(aX +Y, X +bY)
2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 acov(x, x)+(ab+1)cov(x, y)+bcov(y, r)=aD(x)+(ab+1)cov(X, y)+bD(y) 再由于随机变量X~N(-1,2),Y~N,2),而且X与y不相关,所以 D(x)=2,D()=2,cov(X,Y)= 因此,cov,V)=2(a+b) 这表明:随机变量U与V不相关,当且仅当cov{U,V)=2(a+b)=0,当且仅当a+b=0 应选:(C) 2.对两台仪器进行独立测试,已知第一台仪器发生故障的概率为P1,第二台仪器发生故障的概率为 P2令X表示测试中发生故障的仪器数,则E(X)= p1+ p (B).p(-P2)+p2(-p1) (C)p1+(1-p2) PIp 由于X表示测试中发生故障的仪器数,所以X的取值为0,1,2,并且X的分布律为 0 (-p1X1-p2)p(-p2)+p2(-p)pp2 所以 E(x)=0×(1-p-p2)+1×p(1-p2)+p2(-p)+2xpP2=p1+P2 应选:(4) 3.若P,表示二维随机变量(X,1)的相关系数,则“p,=1”是“存在常数a、b使得 Py=a+bX}=1”的 (4),必要条件,但非充分条件 (B)充分条件,但非必要条件 (C),充分必要条件 (D)既非充分条件,也非必要条件 由相关系数的性质,可知“px,=1”是“存在常数a、b使得P=a+bX}=1的充分必要条件 第3页共9页
2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 3 页 共 9 页 = acov(X, X)+ (ab +1)cov(X, Y)+bcov(Y, Y) = aD(X)+ (ab +1)cov(X, Y)+bD(Y) 再由于随机变量 X ~ N(−1, 2)，Y ~ N(1, 2) ，而且 X 与 Y 不相关，所以 D(X) = 2， D(Y) = 2，cov(X, Y) = 0 ． 因此， cov(U, V) = 2(a +b)． 这表明：随机变量 U 与 V 不相关，当且仅当 cov(U, V) = 2(a + b) = 0 ，当且仅当 a +b = 0 ． 应选： (C)． 2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为 1 p ，第二台仪器发生故障的概率为 2 p ．令 X 表示测试中发生故障的仪器数，则 E(X ) = (A). p1 + p2 ； (B). ( ) ( ) p1 1− p2 + p2 1− p1 ； (C). ( ) p1 + 1− p2 ； (D). p1 p2 ． 【 】 解： 由于 X 表示测试中发生故障的仪器数，所以 X 的取值为 0, 1, 2 ，并且 X 的分布律为 X 0 1 2 P ( )( ) 1− p1 1− p2 ( ) ( ) p1 1− p2 + p2 1− p1 p1 p2 所以 ( ) ( )( ) ( ) ( ) E X = 0 1− p1 1− p2 +1 p1 1− p2 + p2 1− p1 + 2 p1 p2 = p1 + p2． 应选： (A)． 3．若 X , Y 表示二维随机变量 (X, Y) 的相关系数，则“ X , Y = 1 ”是“存在常数 a 、 b 使得 PY = a + bX=1 ”的 (A).必要条件，但非充分条件； (B).充分条件，但非必要条件； (C).充分必要条件； (D).既非充分条件，也非必要条件． 【 】 解： 由相关系数的性质，可知“ X , Y = 1 ”是“存在常数 a 、b 使得 PY = a + bX=1 的充分必要条件．
2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 4.设总体X与y相互独立,且都服从正态分布N(0,1).(x,…,X)是从总体x中抽取的 个样本,(…)是从总体y中抽取的一个样本,则统计量U=x+…+x (4)x2(9):(B)x2(8):(C)t(9):(D)(8) 应选:(C) 5.设总体X服从参数A=10的泊松( Poisson)分布,现从该总体中随机选出容量为20一个样本, 则该样本的样本均值的方差为 (B).05:(C)5:(D).50 由于总体服从参数2=10的泊松( Poisson)分布,所以D(x)=2=10.又从该总体中随机选出容量 为20一个样本,则若令x是其样本均值,则D(x)D(x)10 应选:(B) (本题满分10分) 将两信息分别编码为A和B发送出去.接收站收到时,A被误收作B的概率为004:而B被误收作 A的概率为007.信息A与信息B传送频繁程度为3:2.若已知接收到的信息是A,求原发信息也是A 的概率 解 设A=原发信息是,B={原发信息是B A={接收信息是4},B'={接收信息是B}, 则由题设,P(4)=3,P(B)=3,P()=00,=007 所求概率为P(B),根据 Bayes公式,得 0.96 (BA) P(4)P(41) P((41)+p((1=302=0935 0.07 第4页共9页
2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 4 页 共 9 页 应选： (C)． 4．设总体 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)．( ) X1，， X9 是从总体 X 中抽取的一 个样本， ( ) Y1，， Y9 是从总体 Y 中抽取的一个样本，则统计量 ~ 2 9 2 1 1 9 Y Y X X U + + + = (A) (9) 2 ； (B) (8) 2 ； (C) t(9) ； (D) t(8)． 【 】 应选： (C)． 5．设总体 X 服从参数 =10 的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机选出容量为 20 一个样本， 则该样本的样本均值的方差为 (A). 1 ； (B). 0.5 ； (C). 5 ； (D). 50． 【 】 解： 由于总体服从参数 =10 的泊松（Poisson）分布，所以 D(X ) = =10 ．又从该总体中随机选出容量 为 20 一个样本，则若令 X 是其样本均值，则 ( ) ( ) 0.5 20 10 = = = n D X D X ． 应选： (B)． 三．（本题满分 10 分） 将两信息分别编码为 A 和 B 发送出去．接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.04 ；而 B 被误收作 A 的概率为 0.07 ．信息 A 与信息 B 传送频繁程度为 3 : 2 ．若已知接收到的信息是 A ，求原发信息也是 A 的概率． 解： 设 A = 原发信息是A， B = 原发信息是B． A = 接收信息是A， B = 接收信息是B． 则由题设， ( ) 5 3 P A = ， ( ) 5 2 P B = ， P(B A) = 0.04 ， P(AB) = 0.07 ． 所求概率为 P(B A) ，根据 Bayes 公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.9536 0.07 5 2 0.96 5 3 0.96 5 3 = + = + = P A P A A P B P A B P A P A A P B A
2002-2003学年第二学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 四.(本题满分10分) 设随机变量X~N(O,1),Y=x·试求随机变量y的密度函数f() 解 随机变量X的密度函数为 f(x)= 设随机变量Y=X的分布函数为F(v),则 F()=P≤y}=P{x1≤y )当y≤0时,F()=P≤y=P{xy=0 (2)当y>0时, F()=Py=PX≤y=P(y≤X5y x 所以,F(y)= e 2 dx y>0 y≤0 2 所以,f(v)=F(y) >0 y≤0 五.(本题满分10分) 房间有3扇同样大小的窗户,其中只有一扇是打开的.有一只鸟在房子里飞来飞去,它只能从开着 的窗子飞出去.假定这只鸟是没有记忆的,且鸟飞向各个窗子是随机的.若令X表示鸟为了飞出房间试飞 的次数.求(1)X的分布律.(2)这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率.(3)若有一只鸟飞进该房间5次, 其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间,请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理? 解 (1)X的取值为1,2,3,…,并且 P{x=k=Pk-1次试飞均未飞出房间,第次试飞出房间=(2 因此X的分布律为 第5页共9页
2002-2003 学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 四．（本题满分 10 分） 设随机变量 X ~ N(0, 1)，Y = X ．试求随机变量 Y 的密度函数 f (y) Y ． 解： 随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 2 2 1 x X f x e − = (− x +)． 设随机变量 Y = X 的分布函数为 F (y) Y ，则 FY (y) = PY y= PX y． ⑴ 当 y 0 时， FY (y) = PY y= PX y= 0 ． ⑵ 当 y 0 时， FY (y) = PY y= PX y= P− y X y ( ) − − − − = = = y y x y y x y f X x dx e dx e dx 0 2 2 2 2 2 2 2 1 所以， ( ) = − 0 0 0 2 2 0 2 2 y e dx y F y y x Y ． 所以， ( ) ( ) = = − 0 0 0 2 2 2 2 y e y f y F y y Y Y ． 五．（本题满分 10 分） 一房间有 3 扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着 的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令 X 表示鸟为了飞出房间试飞 的次数．求⑴ X 的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞 3 次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞进该房间 5 次， 其中有 4 次它最多试飞了 3 次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？ 解： ⑴ X 的取值为 1, 2, 3, ，并且 3 1 3 2 1 1 = = − = k− P X k P 前k 次试飞均未飞出房间，第k次试飞飞出房间 因此 X 的分布律为 3 1 3 2 1 = = k− P X k (k =1, 2, 3, )．