北京交通大学：2003-2004学年第一学期概率统计（B）期末考试试卷答案

003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 2003-2004学年第一学期概阜论与數狸统计(B)期來考试试卷答豪 (本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分) 1.掷2颗均匀的骰子,令: A=第一颗骰子出现4,B=两颗骰子出现的点数为7 ()试求P(4),P(B),P(AB);(以)判断随机事件A与B是否相互独立? (1)掷2颗骰子,共有62=36种情况(样本点总数) A事件含有6个样本点,故P(4) 6 B事件含有6个样本点,故PB)=、6, 36 366 AB事件含有1个样本点,故P(AB)=1 (2)由于P(AB) =P(4)P(B),所以随机事件A与B相互独立 3666 2.设连续型随机变量X的密度函数为 0≤x<3 (x)={2-3sx≤4 其它 求:()常数c;()椰率P2<X<6} 解 )由密度函数的性质∫/(xk=1,得 =(x=/(x+(x+八)+∫( Odx+cdx+2-= dx+Odx 7 第1页共11页

2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 1 页 共 11 页 2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 一．（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分）． 1．掷 2 颗均匀的骰子，令： A = 第一颗骰子出现4点， B = 两颗骰子出现的点数之和为7． ⑴ 试求 P(A)， P(B)， P(AB) ；⑵ 判断随机事件 A 与 B 是否相互独立？ 解： ⑴ 掷 2 颗骰子，共有 6 36 2 = 种情况（样本点总数）． A 事件含有 6 个样本点，故 ( ) 6 1 36 6 P A = = ． B 事件含有 6 个样本点，故 ( ) 6 1 36 6 P B = = ． AB 事件含有 1 个样本点，故 ( ) 36 1 P AB = ． ⑵ 由于 P(AB) = =  = P(A)P(B) 6 1 6 1 36 1 ，所以随机事件 A 与 B 相互独立． 2．设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( )      −     = 0 其它 3 4 2 2 0 3 x x cx x f x ， 求：⑴ 常数 c ；⑵ 概率 P2  X  6． 解： ⑴ 由密度函数的性质 ( ) =1  + − f x dx ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      + − + − = = + + + 4 4 3 3 0 0 1 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx     + −  +      = + + − 4 4 3 3 0 0 0 2 0 2 dx dx x dx cxdx 4 1 2 9 4 7 2 2 9 4 2 2 4 3 2 3 0 2  = +      = + −         = + − c c x x x c

003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 所以,得c=-.即随机变量X的密度函数为 0≤x<3 6 f(x)={2-3≤x≤4 0其它 P<X<6}=f(x)=(x+/(x+/(x 3.设随机变量X和Y的数学期望分别是-2和2,方差分别是1和4,而相关系数为-0.5 ()求E(x+)及D(X+);()试用切比雪夫( Chebyshev)不等式估计概率P({x+y26} 解 (1)令Z=X+Y,则有 E(2)=E(X+y)=E(Xx)+E()=-2+2=0 D(Z)=D(X+)=D() +D()+2cov(Y, Y) =D(x)+D()+2√D(X)√D (2)根据切比雪夫不等式,有 P(x+26126}=(-E(2)26212=3 4.在总体x~N(52,63)中随机抽取一个容量为36的样本,求P508≤X≤538 附,标准正态分布N(Q,1)的分布函数Φ(x)的部分值: 0.19 0.29 1.14 109 1.63 1.71 0.5753061410.87290.86210948409564 解 第2页共11页

2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 2 页 共 11 页 所以，得 6 1 c = ．即随机变量 X 的密度函数为 ( )          −     = 0 其它 3 4 2 2 0 3 6 x x x x f x ． ⑵   ( ) ( ) ( ) ( )       = = + + 6 4 4 3 3 2 6 2 P 2 X 6 f x dx f x dx f x dx f x dx     +      = + − 6 4 4 3 3 2 0 2 2 6 dx dx x dx x 3 2 4 1 12 5 4 2 12 4 3 2 3 2 2 = + =         = + − x x x ． 3．设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别是 − 2 和 2 ，方差分别是 1 和 4 ，而相关系数为−0.5． ⑴ 求 E(X +Y ) 及 D(X +Y ) ；⑵ 试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计概率 P X +Y  6． 解： ⑴ 令 Z = X +Y ，则有 E(Z)= E(X +Y)= E(X)+ E(Y)= −2+2 = 0 D(Z)= D(X +Y)= D(X)+ D(Y)+2cov(X，Y) ( ) ( ) ( ) ( ) D X D Y D X D Y  X，Y = + + 2  =1+ 4 + 2 1 4 (− 0.5) = 3 ⑵ 根据切比雪夫不等式，有      ( )  ( ) 12 1 36 3 6 6 6 6 2 +  =  = −   = = D Z P X Y P Z P Z E Z ． 4．在总体 ( ) 2 X ~ N 52， 6.3 中随机抽取一个容量为 36 的样本，求 P50.8  X  53.8． （附，标准正态分布 N(0，1) 的分布函数 (x) 的部分值： x 0.19 0.29 1.14 1.09 1.63 1.71 (x) 0.5753 0.6141 0.8729 0.8621 0.9484 0.9564 解：

003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 由于总体X~N(52,632),而且样本量n=36,所以x~N52,632 36 所以,P50.8≤X≤538}=P508-52X-52538-52 6 53.8-52 50.8-52 63-63-=0071)-a(-1) =(171)+Φ.14)-1=09564+08729-1=08293 5.设总体X的二阶矩存在,记E(X)=,D(X)=a2,且μ与3都未知,-<<+∞0, a2>0.(X1,X2,…,X)是从总体X中抽取的一个样本,求山与a2的矩估计量 解 记a=E(x)(k=1,2).则有 O=a、-C1 将a1与a2分别用样本(X,X2,…,X,)的样本均悟×士与样本的二阶原点矩A2=∑x2 来替换,得到与σ2的矩估计量为 X G2=42-(x)=1Sx2-(x)=∑(x1-x)=B3 二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分) 6.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为、1、1 ()求密码能被破译的概率.(2)已知密码已经被破译,求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人 的概率 第3页共11页

2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 3 页 共 11 页 由于总体 ( ) 2 X ~ N 52， 6.3 ，而且样本量 n = 36 ，所以         36 6.3 ~ 52 2 X N ， ． 所以，             −  −  −   = 6 6.3 53.8 52 6 6.3 52 6 6.3 50.8 52 50.8 53.8 X P X P (1.71) ( 1.14) 6 6.3 50.8 52 6 6.3 53.8 52 =  −  −             − −              − =  = (1.71)+(1.14)−1= 0.9564 + 0.8729 −1= 0.8293． 5．设总体 X 的二阶矩存在，记 E(X ) =  ， ( ) 2 D X = ，且  与 2  都未知， −    + ， 0 2   ． ( ) X1， X2，， Xn 是从总体 X 中抽取的一个样本，求  与 2  的矩估计量． 解： 记 ( ) k k = E X (k =1, 2) ．则有    = − = 2 2 1 2 1      ， 将 1 与  2 分别用样本 ( ) X1， X2，， Xn 的样本均值 = = n i Xi n X 1 1 与样本的二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 来替换，得到  与 2  的矩估计量为  ˆ = X ， ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 ˆ X X B n X X n A X n i i n i = − =  i − =  − = = =  ． 二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分）． 6．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为 5 1 、 3 1 、 4 1 ． ⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人 的概率． 解：

003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 )设A={甲破译出密码,B={乙破译出密码}C={丙破译出密码} D={密码被破译 则D=A∪B∪C,因此, P(D)=P(AUBUC)=1-PlAUBUC=1-P(ABC) P(ap()p()= 23 5 2)D=破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人,则 D1=ABC∪ABC∪ABC,所以 P(D)=P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) P(AP(BP(C)+P(AP(B)P(C)+P(AP(BP(c) 12341342111213 =-×-×-+-×-×-+-×- 5345345341051530 注意到D∈D,所求概率为P(D)=PDD=PO)=3=13 7.某学生参加一项考试,他可以决定聘请5名或者7名考官.各位考官独立地对他的成绩做出判断,并 且每位考官判断他通过考试的概率均为0.3,如果至少有3位考官判断他通过,他便通过该考试.试问该考 生聘请5名还是7名考官,能使得他通过考试的概率较大? 解: 设A={位考官判断他通过考试,则P(4)=03 B=该考生通过考试 由于各位考官独立地对他的成绩做出判断,因此考生聘请n位考官,相当于做一个n重 Bernoul试验.令 x表示判断他通过考试的考试人数,则X~B(n,03),因此 P{X=k}=C×03×07,(=0,1,…,n) (1)若考生聘请5位考官,相当于做一个5重 Bernoulli试验.所以, P(B)=P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} 第4页共11页

2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 4 页 共 11 页 ⑴ 设 A=甲破译出密码， B =乙破译出密码，C =丙破译出密码． D =密码被破译． 则 D = ABC ，因此， P(D) = P(A B C) =1− P(A B C)=1− P(ABC ) ( ) ( ) ( ) 5 3 5 2 1 4 3 3 2 5 4 =1− P A P B P C =1−   = − = ． ⑵ D1 =破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人 ，则 D1 = ABC  ABC  ABC ，所以 P(D ) = P(ABC  ABC  ABC)= P(ABC)+ P(ABC)+ P(ABC) 1 = P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C) 30 13 15 2 5 1 10 1 4 1 3 2 5 4 4 3 3 1 5 4 4 3 3 2 5 1 =   +   +   = + + = 注意到 D1  D ，所求概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 13 5 3 30 13 1 1 1 = = = = P D P D P D P D D P D D ． 7．某学生参加一项考试，他可以决定聘请 5 名或者 7 名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并 且每位考官判断他通过考试的概率均为 0.3 ，如果至少有 3 位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考 生聘请 5 名还是 7 名考官，能使得他通过考试的概率较大？ 解： 设 A=一位考官判断他通过考试，则 P(A) = 0.3． B =该考生通过考试． 由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请 n 位考官，相当于做一个 n 重 Bernoulli 试验．令 X 表示判断他通过考试的考试人数，则 X ~ B(n, 0.3) ，因此   k k n k Cn P X k − = = 0.3 0.7 ， (k = 0, 1,  , n)． ⑴ 若考生聘请 5 位考官，相当于做一个 5 重 Bernoulli 试验．所以， P(B)= PX  3= PX = 3+ PX = 4+ PX = 5

003-2004学年第一学期概率论与数理统计(B)期末考试试卷答案 =C3×03×072+C4×034×0.7+C5×0.33×07°=0.16308 (2)若考生聘请7位考官,相当于做一个7重 bernoulli试验.所以, P()=P{x23=1-Pk<3}=1-Px=k =1-(c9×03×07+c;×03×0.7+C;×032×0.7)=03529305 所以聘请7位考官,可以使该考生通过考试的概率较大 8.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 yx≤y≤ 0 其它 ().求E(X),E()及E(X) (2).分别求出求X与Y的边缘密度函数; (3).判断随机变量X与Y是否相关?是否相互独立? 解 ).E(x)=∫∫ xf(x,yt的21 41b=21 x3(-x2)=0 E()∫Jy(,yd=4xyb=4x x5kt=「x2(1-x5k E(xr)=xMf(, ykdrdy=4drrydy=x(-xkax=0 x2 (2).当-1≤x≤1时 f(x)=f(x,y灿 21 ydy=x(1-x) 所以,随机变量X的边缘密度函数为 f(x)={8 l≤x<1 其它 当0≤y≤1时, 第5页共11页

2003-2004 学年第一学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案 第 5 页 共 11 页 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.16308 5 5 0 5 4 4 1 5 3 3 2 = C5   + C   + C   = ． ⑵ 若考生聘请 7 位考官，相当于做一个 7 重 Bernoulli 试验．所以， ( )        = =  = −  = − = 2 0 3 1 3 1 k P B P X P X P X k 1 ( 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 ) 0.3529305 2 2 5 7 1 1 6 7 0 0 7 = − C7   + C   + C   = ． 所以聘请 7 位考官，可以使该考生通过考试的概率较大． 8．设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为 ( )       = 其它 ， 0 1 4 21 2 2 x y x y f x y ⑴．求 E(X )， E(Y) 及 E(XY) ； ⑵．分别求出求 X 与 Y 的边缘密度函数； ⑶．判断随机变量 X 与 Y 是否相关？是否相互独立？ 解： ⑴． ( ) ( ) (1 ) 0 8 21 4 21 , 1 1 3 4 1 3 1 1 2 = = = − =      − − + − + − E X x f x y dxdy dx x ydy x x dx x ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 1 2 7 1 4 7 4 21 , 1 0 2 6 1 1 2 6 1 2 2 1 1 2 = = = − = − =       − − + − + − E Y yf x y dxdy dx x y dy x x dx x x dx x ( ) ( ) (1 ) 0 4 7 4 21 , 1 1 3 6 1 3 2 1 1 2 = = = − =      − − + − + − E XY xyf x y dxdy dx x y dy x x dx x ⑵．当 −1 x 1 时， ( ) ( ) ( ) 2 4 1 2 1 8 21 4 21 2 f x f x y dy x ydy x x x X = = = −   + − ， 所以，随机变量 X 的边缘密度函数为 ( ) ( )     − −   = 0 其它 1 1 1 8 21 2 4 x x x f x X ； 当 0  y  1 时