第二章一阶微分方程的初等解法 强调了所谓解（或通解）是“在区间上”的解，因此一个微分方程在两个不同的区间 上的解可以是两个不同的函数，它们的表达式不一定相同 四.例题增补 1.求方程=2r-y满足初值条件(0)-0的特解。 解：令2红-y=u,方程化为 =2-e, du 分离变量得 = 积分得 2eu-1=ce-2x,即2-e2x-"=ce". 以初值(0)=0代入上式得c=1,所以所求初值问题的解为2e-e2x=1. 2.设y=e2是微分方程x+p(xy=x的一个解，求此微分方程满足条件 ln(2)=0的特解。 解：以y=er代入方程 re*+p(r)e"=x 由此得p(x)=x(er-1),代入方程 y +r(e-*-1)y=t, 此方程化为下面的一阶线性方程： =(1-er)y+1. 故通解为 y=era-e"yr(c+e-Derdr)=ee"(c+e-)=ce'e+e. -12-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 强调了所谓解（或通解）是“在区间I上”的解， 因此一个微分方程在两个不同的区间 上的解可以是两个不同的函数， 它们的表达式不一定相同. 四. 例题增补 1. 求方程 y 0 = e 2x−y 满足初值条件 y(0) = 0 的特解。 解： 令2x − y = u, 方程化为 du dx = 2 − e u , 分离变量得 du 2 − e u = dx, 积分得 2e −u − 1 = ce−2x, 即 2 − e 2x−y = ce−y . 以初值 y(0) = 0 代入上式得 c = 1, 所以所求初值问题的解为 2e y − e 2x = 1. 2.设 y = e x 是微分方程 xy0 + p(x)y = x的一个解，求此微分方程满足条件 y(ln(2)) = 0 的特解。 解： 以y = e x代入方程 xex + p(x)e x = x 由此得 p(x) = x(e −x − 1), 代入方程 xy0 + x(e −x − 1)y = x, 此方程化为下面的一阶线性方程： y 0 = (1 − e −x )y + 1. 故通解为 y = e R (1−e−x)dx³ c + Z e R (e−x−1)dxdx´ = e x e e−x (c + e −e−x ) = cex e e−x + e x . – 12 –
第二章一阶微分方程的初等解法 以x=ln2,y=0代入上式得c=-e,所以所求初值问题的解为 y=-e-iee-e"+e" 及求方程密-的适解 3xy+3x-3y-3 解：方程化为 3(x-1)(y+1) 令x-1=5,y+1=n,则 安-站3+围 35 3是 令=山，则 分离变量 产咖警 积分得 hl2r2-3到=-4hl1+hl4 2u2-3=c,272-32=ci 故原方程的通解为 2(y+1)2-3(x-1)2=c(x-1)1 4.己知微分方程 (6y+x22)dx+(8x+x3y)dy=0 具有r3f(x)形式的积分因子，求f(x),并求微分方程的通解。 解： yf(r)(6y+x2y)dr+yf(x)(8x+y)dy =0 M=y3fx)(6y+x2y2),N=3f(x)(8x+x3), -13-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 以 x = ln 2, y = 0 代入上式得 c = −e − 1 2 , 所以所求初值问题的解为 y = −e − 1 2 e e−x e x + e x . 3. 求方程dy dx = 3x 2 + y 2 − 6x + 2y + 4 3xy + 3x − 3y − 3 的通解。 解： 方程化为 dy dx = 3(x − 1)2 + (y + 1)2 3(x − 1)(y + 1) . 令 x − 1 = ξ, y + 1 = η, 则 dη dξ = 3ξ 2 + η 2 3ξη = 3 + ³ η ξ ´2 3 η ξ . 令ξ η = u, 则 u + ξ du dξ = 3 + u 2 3u , 分离变量 3udu 3 − 2u 2 = dξ ξ , 积分得 ln |2u 2 − 3| = − 4 3 ln |ξ| + ln |c|, 2u 2 − 3 = cξ− 4 3 , 2η 2 − 3ξ 2 = cξ 2 3 , 故原方程的通解为 2(y + 1)2 − 3(x − 1)2 = c(x − 1) 2 3 4.已知微分方程 (6y + x 2 y 2 )dx + (8x + x 3 y)dy = 0 具有y 3 f(x)形式的积分因子，求f(x), 并求微分方程的通解。 解 ： y 3 f(x)(6y + x 2 y 2 )dx + y 3 f(x)(8x + x 3 y)dy = 0 M = y 3 f(x)(6y + x 2 y 2 ), N = y 3 f(x)(8x + x 3 y), – 13 –
第二章一阶微分方程的初等解法 =24w7e+sa.=swo+sarra+3+yre xf'(x）=2y3f(z), 求得f()=cx2,取积分因子为x2y,求得 u=a+h=2ry+传 所以微分方程的通解为2x3y+xy=c. 5.当-o<x<+o∞时，f(x)连续且有界，证明：方程 y+y=f(r) (1) 在区间-∞<x<+上存在一个有界解，求出这个解，并证明：若函数f(x)是以w 为周期的周期函数，则这个解也是以山为周期的周期的周期函数。 证：方程(1)的通解为 v=erlc+厂em (2) )取C=「厂止（由假设这个广义积分收敛），得解 J-c a=e产roe 由条件知，存在常数M>0,当x∈(-o,+∞)时，f(x川≤M,从而由(3)知 l(x川≤M,x∈(-o,+o). 此即为(1)的一个有界解 2)若f(x)=f(红+w),对(1)中确定的解(3)，当x∈(-oo,+o∞)时有 -14-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 ∂M ∂y = 24y 3 f(x) + 5x 2 y 4 f(x), ∂N ∂x = 8y 3 f(x) + 8xy3 f 0 (x) + 3x 2 y 4 f(x) + x 3 y 4 f 0 (x), 由 ∂M ∂y = ∂N ∂x 得 xy3 f 0 (x) = 2y 3 f(x), 求得f(x) = cx2 , 取积分因子为x 2 y 3 , 求得 u = Z x 0 (6x 2 y 4 + x 4 y 5 )dx = 2x 3 y 4 + 1 5 x 5 y 5 , 所以微分方程的通解为2x 3 y 4 + 1 5 x 5 y 5 = c. 5. 当 −∞ < x < +∞ 时, f(x) 连续且有界，证明：方程 y 0 + y = f(x) (1) 在区间 −∞ < x < +∞ 上存在一个有界解，求出这个解，并证明：若函数 f(x) 是以 ω 为周期的周期函数，则这个解也是以 ω 为周期的周期的周期函数. 证： 方程（1）的通解为 y = e −x h C + Z x 0 f(t)e t dti m (2) 1) 取 C = Z 0 −∞ dt (由假设这个广义积分收敛)，得解 y(x) = e −x Z x −∞ f(t)e t dt (3) 由条件知，存在常数 M > 0, 当 x ∈ (−∞, +∞) 时，|f(x)| ≤ M, 从而由(3)知 |y(x)| ≤ M, x ∈ (−∞, +∞). 此即为(1)的一个有界解. 2) 若 f(x) = f(x + ω),对(1)中确定的解(3), 当 x ∈ (−∞, +∞) 时有 y(x + ω) = e −(x+ω) Z x+ω −∞ f(t)e t dt – 14 –
第二章一阶微分方程的初等解法 令t=z+w,则上式右端为 所以y(x)也是以w为周期的周期函数. 6.已知在方程+a(r)y=f(a)中，a(r)≥c>0,且lim-+ef(z)=0,求证：这 个方程的每个解当x一+0∞时都趋于零. 证：所给方程为一阶线性齐次方程，a(x)≥c>0,故通解为 y()=e-Ja(a[f(t)el (dd+C] 7若2厂0+0=x+r求e以 解：当x=0时，=0，所给等式两端关于求导得 2x)V1+2(c)=2+2y, 1 y= i+阿-y阿=1+阿+倒 令=p,则 y=V1+p2+p. 关于x求导得 血=（+n+) x In lp(p+v1+p2)-Inlcl 或 ce"=p(p+v1+p) 消去p得y2=1+2ce.以(0)=0代入上式得c=-,所以 2=1-e -15-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 令 t = z + ω, 则上式右端为 e −(x+ω) R x −∞ f(z + ω)e z+ωdz = e −x e −ω R x −∞ f(z)e z+ωdz = e −x R x −∞ f(z)e zdz = y(x). 所以y(x)也是以ω 为周期的周期函数. 6. 已知在方程 y 0 + a(x)y = f(x) 中，a(x) ≥ c > 0, 且limx→+∞ f(x) = 0, 求证： 这 个方程的每个解当x → +∞ 时都趋于零. 证： 所给方程为一阶线性齐次方程，a(x) ≥ c > 0，故通解为 y(x) = e − R a(t)dt£ Z f(t)e R a(t)dtdx + C ¤ 7. 若 2 Z x 0 y(t) p 1 + y 02 (t)dt = 2x + y 2 (x), 求 y(x). 解： 当 x = 0 时， y = 0, 所给等式两端关于求导得 2y(x) p 1 + y 02 (x) = 2 + 2yy0 , y = 1 p 1 + y 02 (x) − y 0 (x) = p 1 + y 02 (x) + y 0 (x) 令 y 0 = p, 则 y = p 1 + p 2 + p. 关于x求导得 dx = ³ 1 p 1 + p 2 + 1 p ´ dp x = ln |p(p + p 1 + p 2 )| − ln |c| 或 cex = p ³ p + p 1 + p 2 ´ 消去 p 得 y 2 = 1 + 2cex . 以 y(0) = 0 代入上式得 c = − 1 c , 所以 y 2 = 1 − e x – 15 –
第二章一阶微分方程的初等解法 五.习题解析（习题2.1，第42页） 4.已知f)f)dt=1(r≠0)，试求函数fx)的一般表达式。 解：有题意x卡0时f(x)卡0，所以方程可化为 人om=高 (1) (1)式两边对x求导得 a=% 即 f(x)=-f(x) (2) (②)式是一阶变量分离方程，求解得 1 2P阿=+d 即 fa=士V2r+同 将(3)代入所给积分方程得c=0,故 f)=±匠 5.求具有性质 +品 的函数x(),己知x(O)存在 解：在关系式中，令t=0,则有 x(01+x2(s)=0 得x(0)=0,又有关系式得 t+-r9=0+z02s 1-x()x(s) -16-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 五.习题解析（习题 2.1，第42页） 4. 已知 f(x) Z x 0 f(t)dt = 1(x 6= 0), 试求函数 f(x)的一般表达式. 解： 有题意 x 6= 0 时 f(x) 6= 0, 所以方程可化为 Z x 0 f(t)dt = 1 f(x) (1) (1) 式两边对 x 求导得 f(x) = − f 0 (x) f 2 (x) , 即 f 0 (x) = −f 3 (x) (2) (2) 式是一阶变量分离方程，求解得 1 2f 2 (x) = x + c 即 f(x) = ± 1 p 2(x + c) (3) 将 (3) 代入 所给积分方程得 c = 0, 故 f(x) = ± 1 √ 2x 5. 求具有性质 x(t + s) = x(t) + x(s) 1 − x(t)x(s) 的函数x(t), 已知 x 0 (0)存在. 解： 在关系式中， 令 t = 0, 则有 x(0)[1 + x 2 (s)] = 0 得 x(0) = 0, 又有关系式得 x(t + s) − x(s) = x(t) + x(t)x 2 (s) 1 − x(t)x(s) – 16 –