第一章绪论 (2)loA=1om叫.这时有 ”+=g-,即坐=纟±+亚 (3)b4=|4p.这时有 g-=2+,即=-2 dx 2xy 5.试求抛物线族，=cx的正交轨线族所满足的微分方程组。 解：所谓相互正交的轨线族，是指一轨线族中的任一条曲线与另一轨线族的任一 条曲线在交点处的切线互相垂直，那么它们的切线斜率互为负倒数，所以首先要写出 抛物线族所满足的微分方程，即y=cx2对x求导得 y=2cx 再由 { 消去c得 -头 将y换成-之，就得到与它正交的轨线族所满足的微分方程 =或 五.习题解析（习题1.2，第26页） 5.求下列两个微分方程的公共解： (1)y=y2+2x-x4 (2)=2x+x2+x4-y- 解：(1)要求两个微分方程公共解，则它必须满足两个方程组且斜率都一样，即 -7-
第 一 章 绪 论 (2) |oA| = |op|. 这时有 x 2 + y 2 = (y − xy0 ) 2 , 即 dy dx = y x ± p x 2 + y 2 x . (3) |oA| = |Ap|. 这时有 (y − xy0 ) 2 = x 2 + x 2 y 02 ,即 dy dx = y 2 − x 2 2xy . 5. 试求抛物线族y = cx2的正交轨线族所满足的微分方程组。 解： 所谓相互正交的轨线族，是指一轨线族中的任一条曲线与另一轨线族的任一 条曲线在交点处的切线互相垂直， 那么它们的切线斜率互为负倒数，所以首先要写出 抛物线族所满足的微分方程，即y = cx2 对x求导得 y 0 = 2cx 再由 ½ y = cx2 y 0 = 2cx. 消去c得 y 0 = 2y x 将y换成− 1 y 0 , 就得到与它正交的轨线族所满足的微分方程 y 0 = − x 2y . 五.习题解析（习题 1.2，第26页） 5. 求下列两个微分方程的公共解： (1) y 0 = y 2 + 2x − x 4 (2) y 0 = 2x + x 2 + x 4 − y − y 2 解：（1） 要求两个微分方程公共解，则它必须满足两个方程组且斜率都一样，即 – 7 –
第一章绪论 2+2x-x4=2x+x2+x4-y-2, 2y2+y-2x4-x2=0, y=x2,y=-x2- 经验证知y=x2是它们的公共解。 (2)略。 6.求微分方程+x2-y=0的直线积分曲线。 解：设g=kx+b为所给方程的积分曲线，将y=kx+b及=k代入方程得 k+k2-kz-b=0, k)x- k=0,k=1及b=0,b=1 所以k=1,b=1,及y=x+1是原方程的直线积分曲线。k-0,b=0,即y=0也是原 方程的直线积分曲线。 7.微分方程4x22-2=xy3,证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的 曲线，也是此微分方程的积分曲线。 证明：设y=(x)是关于原点对称于所给方程的积分曲线划=(x)的曲线方程，所 以 p(x)=-f(-x) 由于 4x2[（x)2-2(x）-xp3(x) =4x2[-f(-x12-【-f(-x)】]2-x-f(-x)]3 =4(-x)2Lf'(-x2-f(-x]2-(-x儿f(-x =0 所以y=(x)也是微分方程4x22-y2=x的积分曲线. -8-
第 一 章 绪 论 y 2 + 2x − x 4 = 2x + x 2 + x 4 − y − y 2 , 2y 2 + y − 2x 4 − x 2 = 0, y = x 2 , y = −x 2 − 1 2 . 经验证知 y = x 2是它们的公共解。 (2) 略。 6. 求微分方程 y 0 + xy02 − y = 0的直线积分曲线。 解： 设y = kx + b 为所给方程的积分曲线， 将 y = kx + b及y 0 = k代入方程得 k + k 2x − kx − b = 0, (k 2 − k)x + (k − b) = 0, k 2 − k = 0, k − b = 0, k = 0, k = 1, k = b, k = 0, k = 1及b = 0, b = 1 所以 k = 1, b = 1, 及y = x + 1是原方程的直线积分曲线。k = 0, b = 0, 即y = 0 也是原 方程的直线积分曲线。 7. 微分方程4x 2 y 02 − y 2 = xy3， 证明其积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的 曲线，也是此微分方程的积分曲线。 证明： 设y = ϕ(x)是关于原点对称于所给方程的积分曲线y = f(x)的曲线方程，所 以 ϕ(x) = −f(−x) 由于 4x 2 [ϕ 0 (x)]02 − ϕ 2 (x) − xϕ3 (x) = 4x 2 [−f(−x)]2 − [−f(−x)]2 − x[−f(−x)]3 = 4(−x) 2 [f 0 (−x)]2 − [f(−x)]2 − (−x)[f(−x)]3 = 0 所以 y = ϕ(x) 也是微分方程 4x 2 y 02 − y 2 = xy3 的积分曲线. – 8 –
第二章一阶微分方程的初等解法 第二章 一阶微分方程的初等解法 一.应该掌握的基本知识 1熟知方程就解出的一阶微分方程=f(x,)的若干类型： 1变量分离方程：=f(x)g(y) 2齐次微分方程：=g() 3°一阶线性方程：=(x)y+Q() 4 Bernoulli方程：寸=P(x)y+Q(x)y”,(n≠0,1) 5恰当方程：Mc,证+N亿，)=0.（器=器） 2.基本解题方法，技巧和公式 1°分离变量法：直接进行分离变量或先通过适当的变量代换化为变量分离方程，通 过积分求出其通解： 2°常数变易法和常数变易公式：先求出对应的齐次线性方程的通解，然后由齐次 线性方程的通解通过常数变易法求出非齐次方程的通解： 3°积分因子法：先根据全微分方程的判别准则，判别方程是否为全微分方程。如 果不是，则设法寻找积分因子。可以从求特殊的积分因子开始，例如求试只与或只 与y有关的积分因子，还可用分项组合法： 4°Bernoulli方程：通过变换z=yn将方程化为线性方程。 5°一阶隐式方程F(红，弘，）=0的几种特殊类型的解法： (1)若方程就能y解出y=f红，)，则令=p,把问题化为求解关于x和p之间的一阶 方程 D=e,p+,p2 然后代入！=f(红，P)得隐式方程的解或参数形式的解： (2)若方程就能x解出x=f(y,),则令=p,把问题化为求解关于y和p之间的一阶 -9-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 第 二章 一阶微分方程的初等解法 一.应该掌握的基本知识 1.熟知方程就y 0解出的一阶微分方程y 0 = f(x, y)的若干类型： 1 ◦变量分离方程: y 0 = f(x)g(y) 2 ◦齐次微分方程:y 0 = g( y x ) 3 ◦ 一阶线性方程：y 0 = p(x)y + Q(x) 4 ◦Bernoulli方程：y 0 = P(x)y + Q(x)y n ,(n 6= 0, 1) 5 ◦ 恰当方程：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, ³ ∂M ∂y = ∂N ∂x ´ 2. 基本解题方法，技巧和公式 1 ◦ 分离变量法: 直接进行分离变量或先通过适当的变量代换化为变量分离方程，通 过积分求出其通解； 2 ◦ 常数变易法和常数变易公式：先求出对应的齐次线性方程的通解， 然后由齐次 线性方程的通解通过常数变易法求出非齐次方程的通解； 3 ◦ 积分因子法：先根据全微分方程的判别准则，判别方程是否为全微分方程。如 果不是，则设法寻找积分因子。可以从求特殊的积分因子 开始，例如求试只与x或只 与y有关的积分因子，还可用分项组合法； 4 ◦ Bernoulli方程：通过变换z = y −n将方程化为线性方程。 5 ◦ 一阶隐式方程F(x, y, y0 ) = 0的几种特殊类型的解法： (1) 若方程就能y解出y = f(x, y0 ),则令y 0 = p,把问题化为求解关于x和p之间的一阶 方程 p = f 0 x (x, p) + f 0 p (x, p) dp dx 然后代入 y = f(x, p)得隐式方程的解或参数形式的解； (2) 若方程就能x解出x = f(y, y0 ),则令y 0 = p,把问题化为求解关于y和p之间的一阶 – 9 –
第二章一阶微分方程的初等解法 方程 =e刊+密 1 p 然后代入x=f(,P)得方式方程的解或隐参数形式的解： (3)若方程不显含，即方程为F(红，)=0，则先取该方程参数表示式 x=(t),y=(t) 由关系式dy=dx得竖=(t)w(),得到方程的参数形式解： {行8 (4)若方程不显含x,即方程为F(y,)=0,则先取该方程参数表示式 y=(),=() 由关系式dy=dx得警=兽，得到方程的参数形式解： z =x(t,c) y=(t) 二.学习注意点 1°首先要熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何 种类型，从而按照所介绍的方法进行求解。我们所遇到的方程未必都恰好是本章所介 绍的方程类型，因此要注意学习解题技巧，从中总结经验。在解方程时我们常用变量 代换，就是根据方程的特点，引进适当的变换，将方程转化为能求解的类型，从而求 解。一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，要多做练习题，掌握这些解题技 巧。 三.释疑解难 1.所有的微分方程都有通解吗？ -10-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 方程 1 p = f 0 y (y, p) + f 0 p (y, p) dp dy 然后代入 x = f(y, p)得方式方程的解或隐参数形式的解； (3) 若方程不显含y,即方程为F(x, y0 ) = 0, 则先取该方程参数表示式 x = ϕ(t), y = ψ(t) 由关系式dy = y 0dx得 dy dt = ψ(t)ϕ 0 (t),得到方程的参数形式解： ½ x = ϕ(t) y = y(t, c) (4)若方程不显含x,即方程为F(y, y0 ) = 0, 则先取该方程参数表示式 y = ϕ(t), y0 = ψ(t) 由关系式dy = y 0dx得 dx dt = ϕ 0 (t) ψ(t) ,得到方程的参数形式解： ½ x = x(t, c) y = ϕ(t) 二. 学习注意点 1 ◦ 首先要熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何 种类型，从而按照所介绍的方法进行求解。 我们所遇到的方程未必都恰好是 本章所介 绍的方程类型，因此要注意学习解题技巧，从中总结经验。在解方程时我们常用变量 代换，就是根据方程的特点，引进适当的变换， 将方程转化为能求解的类型，从而求 解。一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，要多做练习题，掌握这些解题技 巧。 三. 释疑解难 1. 所有的微分方程都有通解吗？ – 10 –
第二章一阶微分方程的初等解法 答不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的 阶数相同的解.以下两个方程： lP+1=0, (1) 与 2+2=0. (2) 显然方程(1)无解，方程(2)只有解g=0.可见并非所有的微分方程都有通解。 2.微分方程的通解包含了微分方程的一切解吗？ 答不一定.例如：微分方程 2+2-1=0 的通解是y=si(x+c),但是y=士1也是方程的解，后者并不包含在通解中，即无论通 解中的c取什么定值，都不可能得到g=士1.y=士1是该方程的奇解 然而线性微分方程的通解包含了该方程的一切解（见教材第四章）· .函数彩=ac0os生+c与y=acim生十c哪一个是微分方程/=rV后的通 解？ 答=rV的自然定义域是（←x,-lUL,+o,求)=acos号+c关 于x的导数，得 = (- 1-V1-÷ 当x>1时，对= 2√-三rV产故，=a0cos是+c是原方程的通解 1 1 同样，求y=arcsin是+c关于x的导数，当x>1时，有= V即 y=arcsin上+c也是原方程的通解， 为什么两个通解在形式上不统一呢？事实上，微分方程的通解的确切定义是：如 果区间1上的函数y=(x)满足方程，就称该函数为微分方程在区间I上的解。定义中 -11-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 答 不是. 所谓微分方程的通解， 是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的 阶数相同的解. 以下两个方程： |y 0 | 2 + 1 = 0, (1) 与 y 02 + y 2 = 0. (2) 显然方程(1)无解， 方程(2)只有解y = 0. 可见并非所有的微分方程都有通解. 2. 微分方程的通解包含了微分方程的一切解吗？ 答 不一定. 例如： 微分方程 y 02 + y 2 − 1 = 0 的通解是y = sin(x + c), 但是y = ±1 也是方程的解, 后者并不包含在通解中，即无论通 解中的c取什么定值，都不可能得到y = ±1. y = ±1是该方程的奇解. 然而线性微分方程的通解包含了该方程的一切解（见教材第四章）. 3. 函数 y = arccos 1 x + c 与 y = arcsin 1 x + c 哪一个是微分方程 y 0 = 1 x √ x 2 − 1 的通 解？ 答 y 0 = 1 x √ x 2 − 1 的自然定义域是 (−∞, −1) S (1, +∞), 求 y = arccos 1 x + c 关 于x的导数， 得 y 0 = − 1 1 − q 1 − 1 x2 · ¡ − 1 x 2 ¢ 当 x > 1时，y 0 = 1 x 2 q 1 − 1 x2 = 1 x √ x 2 − 1 , 故y = arccos 1 x + c 是原方程的通解. 同样， 求 y = arcsin 1 x + c关于x的导数，当 x > 1时，有y 0 = 1 x √ x 2 − 1 , 即 y = arcsin 1 x + c也是原方程的通解. 为什么两个通解在形式上不统一呢？事实上，微分方程的通解的确切定义是：如 果区间I 上的函数y = ϕ(x) 满足方程， 就称该函数为微分方程在区间I上的解. 定义中 – 11 –