例3计算「ax X 解当x<O时,的一个原函数是h|x|, x 所以1 d=h|x|2=h1-h2=-h2 X 例4计算正弦曲线y=snx在[0,m上与x轴所围 成的平面图形的面积 解A= sin xdx y=sin x COS X 0 coS丌+cos0 2
− − 1 2 1 3 dx x 例 计算 解 当 时，的一个原函数是ln | |， 1 0 x x x ln | | ln 1 ln 2 ln 2 1 1 2 1 2 = = − = − − − − − dx x x 所以 形的面积。 与 成的平面图 例4 计算正弦曲线 y sinx 在[0, π]上 x轴所围 = 2 = = − + = − = cos cos0 cos sin 0 0 x 解 A xdx A 0 x y y = sin x
变上限积分的求导公式 d co(x) d r a f(t)dt =f(o(x))o' (x) F()=[f(t 回L=p(x) Flu(x))=-Fluu(x
变上限积分的求导公式 ( ) ( ) ( ( )) '( ) x a d f t dt f x x dx = ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) u a F u f t dt u x d d d F u x F u u x dx du dx = = =
例5求im x 解因x→>O时,分子、分母的极限均为0, 所以极限为型未定式 COS x 又 COSx u= COSX cOSx e dx UCoS dx edhl-a(osy(复合函数求导法
1 2 cos 2 0 lim t x x e dt x − → 例5 求 所以极限为 型未定式。 解 因 时，分子、分母的极限均为 ， 0 0 0 0 x → − − = − x t x t e dt e dt cos 1 1 cos 2 2 又 令u = cos x,则 (cos )' cos 1 cos 1 1 cos 2 2 2 e dt x du d e dt dx d e dt dx d u x u t x t x t = − − − = − = − （复合函数求导法）
-e u=COS x (sinx=-eos(sin x) COS x -SIne -cos x 所以lim SIn xe UCOS X =im 0 2 x x->0 2x -lim sinx -cOs X im e x→>0 X x→>0
2 2 2 cos cos cos ( sin ) ( sin ) sin u x u x x e x e x xe − − = − = − − = − − = e e x x x x e x e dt x x x x x x t x 2 1 lim sin lim 2 1 2 sin lim lim 2 2 2 cos 0 0 cos 0 2 1 cos 0 = = = − → → − → − → 所以
定积分的换元法 定理设函数f(x)在区间a,b]上连续,函数x=0(x) 满足条件: (1)gp(a)=a,0(B)=b (2)(t)在[a,B或[B,a]上具有连续导数,且 其值域不越出a,b则有 f(x)dk=()( 这个公式叫定积分的换元公式
定积分的换元法 = = = = f x dx f t t dt a b t a b f x a b x x b a ( ) [ ( )] '( ) [ , ] (2) ( ) [ , ] [ , ] (1) ( ) , ( ) ( ) [ , ] ( ) 其值域不越出 ，则有 在 （或 上具有连续导数，且 ； 满足条件： 定理 设函数 在区间 上连续，函数 这个公式叫定积分的换元公式