证设F(x)是f(x)的一个原函数,则 f(x)dx= F(6)-F(a 另一方面,令(t)=F[(),有 o(o df dx f(x)(t)=f()y(t) dx dt 所以d()是[(t)()的一个原函数,因此有 B flo(tlo (tdt=o(B)-p(a [()-F(a)=F(b)-F(a) 所以「fx=o(]()t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F b F a F x f x b a = − 证 设 是 的一个原函数，则 '( ) ( ) '( ) [ ( )] '( ) ( ) [ ( )] f x t f t t dt dx dx dF t t F t = = = 另一方面，令 = ，有 所以 (t)是f[(t)]'(t)的一个原函数，因此有 [( )]'( ) () () = − f t t dt = F[( )] − F[()] = F(b) − F(a) = f(x)dx f t t dt b a 所以 [ ( )] '( )
注:1.当o()值域[AB]<[a,b时,只要f(x)在 [A,B]上连续,则定理仍成立 2.用换元法求定积分时,当积分变量换成新 变量后,积分限也要换成新变量的积分限。 例1计算「Va2-xdt(a>0) 解令x=asnt,则x= a costdt x=O时,t=0当x=a时,t 所以a2-x=[2dsh a[2(1+co21)=( sin 2x 2-ia
1. ( ) [ , ] [ , ] ( ) [ , ] 2. t A B a b f x A B 当 的值域 时，只要 在 上连续，则定理仍成立。 用换元法求定积分时，当积分变量换成新 变量后，积分限也要换成新变量的积分限。 注： ( 0) 0 2 2 − a x dx a a 例1 计算 解 令x = asin t,则dx = acostdt 2 0 , 0 , 当x = 时 t = 当x = a时 t = − = 2 0 2 2 0 2 2 cos a x dx a tdt a 所以 = + 2 0 2 (1 cos 2 ) 2 t dt a 4 sin 2 ) 2 1 ( 2 2 2 0 2 a t x a = + =
换元公式也可以反过来使用 (x)(x)dk=[/1(x)() =f()t(a=0(a,B=0(b t=0(x) 例2计算[2cos5 xsin xd 0 解因[2 cos xsin xdx=-[2cos5 xdcos x JO 设t=cosx,则d=- sin xdx, 当x=O时,t=1,当x=时,t=0 所以[2cos5 xsin xdx
换元公式也可以反过来使用: = b a b a f[(x)]'(x)dx f[(x)]d(x) ( ) ( ( ), ( ) ( ) f t dt a b t x = = = = 2 0 5 2 cos sin 例 计算 x xdx = − 2 0 5 2 0 5 cos sin cos cos 解 因 x xdx x d x 设t = cos x,则dt = −sin xdx, , 0 2 当x = 0时,t = 1,当x = 时 t = 6 1 cos sin 1 0 5 0 1 5 2 0 5 = − = = x xdx t dt t dt 所以
此种方法可以不明显写出新变量,如上例也 可这样解: ff2 xsin xdx=-2 cosxdcosx 6 coS X 6 注:当不明显写出新变量时,积分限就不变更
可这样解： 此种方法可以不明显写出新变量，如上例也 = − 2 0 5 2 0 5 cos sin cos cos 解 x xdx x d x 6 1 cos 6 1 2 0 6 = = − x 注：当不明显写出新变量时，积分限就不变更
例3证明 (1)若f(x)在[-a,d]上连续且为偶函数,则 f(x dx=2 f(x) (2)若f(x)在-a,a上连续且为奇函数,则 f(xdx=0 证f(x)=|f(x)d+f(x)tx 在[f(x)k中令x=-1,则得 f(x)k=-()h=(/(=(x
− − = − = − a a a a a f x dx f x a a f x dx f x dx f x a a ( ) 0 2 ( ) [ , ] ( ) 2 ( ) 1 ( ) [ , ] 3 0 （ ）若 在 上连续且为奇函数，则 （）若 在 上连续且为偶函数，则 例 证明 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 证 ( ) ( ) ( ) 在 f x dx中，令x t， a = − − 0 ( ) 则得 = − − = − = − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f t dt f t dt f x dx