所以2=0(x+A)-(x)=f() x △x 因f(x)在a,b上连续,且在x与x+Ax之间 当Ax→>O时,→x,于是 △ΦΦ(x+△x)-Φ(x) lim f(s)=Im f(s=f(x) △x→>0△x △ →x △d 而i Φ(x) 0△x 所以Φ(x)=f(x)(a<x<b) 若x=a,取Ax>0,可证Φ+(a)=f(a) 若x=b,取Ax<0,可证Φ(b)=f(b)
所以 ( ) ( ) ( ) f x x x x x = + − = 因f (x)在[a,b]上连续，且在x与x + x之间, 当x →0时, → x, 于是lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 f x x x x x→ x x→ = + − = lim f ( ) f (x) x = = → lim '( ) 0 x x x = → 而 所以 '(x) = f (x) (a x b) , 0, ( ) ( ); ' 若x = a 取x 可证+ a = f a , 0, ( ) ( ); ' 若x = b 取x 可证− b = f b
故有①)(x)=f(x)(a≤x≤b 定理2如果函数f(x)在区间[a,b上连续,则函数 C(x)=f(dt 就是f(x)在a,b]上的一个原函数 这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 在性:任何连续囪数都存在原囪数。另一方面揭示 了定积分与原函数(不定积分)之间的联系,即可 通过原函数来计算定积分
故有 '(x) = f (x) (a x b) 就是 在 上的一个原函数。 定理 如果函数 在区间 上连续，则函数 ( ) [ , ] ( ) ( ) 2 ( ) [ , ] f x a b x f t dt f x a b x a = 通过原函数来计算定积分。 了定积分与原函数（不定积分）之间的联系，即可 在性： 连续 原 。另一方面揭示 这个定理一方面证明了连续函数的原函数的存 任何 函数都存在 函数
牛顿一莱布尼茨公式(微积分学基本定理) 定理3如果函数f(x)在区间[a,b上连续,F(x)是 f(x)的任一原函数,则 f(x(dx= F(b-F(a 证因F(x)是f(x)的一个原函数,又 dp(x)= f(t)dt 也是(x)的原函数,所以 F(x)=Φ(x)+C(a≤x≤ f(tdt+C
三、牛顿 −莱布尼茨公式（微积分学基本定理） 的任一原函数，则 定理 如果函数 在区间 上连续， 是 ( ) 3 ( ) [ , ] ( ) f x f x a b F x = − b a f (x(dx F(b) F(a) 证 因F(x)是f (x)的一个原函数，又 = x a (x) f (t)dt 所以 F(x) = (x) + C (a x b) 也是f (x)的原函数，f t dt C x a = + ( )
F(a)=p(a)+C=f(t)dt+C=C 于是F(b)=f(+C=f(t+F(a) a b 即有f()t=F(b)-F(a C 公式 Jaf(x)x= F(b)-F(a 叫做牛顿-莱布尼茨公式,也叫微积分基本公式 公式可简记为 f(x)dx=F(x)
F a a C f t dt C C a a = + = + = ( ) ( ) ( ) F(b) f (t)dt C f (t)dt F(a) b a b a = + = + 于是 f (t)dt F(b) F(a) b a = − 即有 公式 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 叫做牛顿 −莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式。 公式可简记为 b a b a f x dx F x ( ) = [ ( )]
例求[x2x 解因_x3是x2的一个原函数,所以 x dx x 0 3 例2求 2 11+x 解因 arctan:是1 的一个原函数,所以 x dx arctan x =acan√3- arctan(-1 11+x 4 7 12
1 0 2 例1 求 x dx 解 1 0 2 x dx 1 0 3 3 1 = x 3 1 = − + 3 1 2 1 2 x dx 例 求 解 3 1 3 1 2 arctan 1 − − = + x x dx = arctan 3 − arctan( −1) ) 4 ( 3 = − − 12 7 = , 3 因 1 x 3 是x 2 的一个原函数 所以 , 1 1 arctan 因 是 2 的一个原函数 x x + 所以