西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY所以方程组x,α+xα+.+x,α,=0只有零解即ax +ax,+..+arx,= 0a12X + a22X2 + ... +ar2x, = 0(2)ainX, +a2nX2 +...+ax,=0只有零解。由引理，方程组（2）的系数矩阵aua21...ar1a12 a22 :... ar2A. :ain an ... arn的行秩≥r（未知量的个数）
即 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （2） 只有零解. 1 1 2 2 0 r r 所以方程组 x x x + + + = 只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 1 2 r r n n rn a a a a a a A a a a = 的行秩 r （未知量的个数）
西安毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY从而在矩阵A,的行向量组(a11a219.,ar1,),(a12,a22,*,ar2),..,(a12,a2n*,am)中一定可以找到r个线性无关的向量．不妨设(ai1,a21.--,ar1,),(a12,a22,*,ar2),..,(air,a2r,***,arm)是r个线性无关的行向量，则该向量组的延伸组(ai1,a21,.,ar1ar+1,1,.**,an),,(ara2r,,arar+1,r,*,anr也线性无关．于是矩阵A的列秩r≥r，A的列向量同理可证r≤r.所以r=r
11 21 1 12 22 2 1 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r r r rr a a a a a a a a a 是r个线性无关的行向量， 中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 从而在矩阵 A1 的行向量组 11 21 1 12 22 2 12 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r n rn a a a a a a a a a 不妨设 则该向量组的延伸组 11 21 1 1,1 1 1 2 1, ( , , , , , , ), ,( , , , , , , ) r r n r r rr r r nr a a a a a a a a a a + + 于是矩阵A的列秩 r r 1 ． 同理可证 . 1 r r 所以 r r 1 = ． 也线性无关． A的列向量