例1、设弦的一端(=0)固定,另一端(x=L)以 snot, 作周期振动,这里o≠nπa/L(n=1,2…)且初值为零。试研 究弦的自由振动。 解:依题意,得定解问题 a2=aa2(0<x<L,>0) u(0, t)=0, u(L, t)=sin ot, o* l(x,0)=0.,1(x,0)=0 Mx1)=(xD+∥(xD
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 例1、设弦的一端（=0）固定，另一端（x=L）以sinωt, 作周期振动，这里ω≠nπa/L(n=1,2…)且初值为零。试研 究弦的自由振动。 解：依题意，得定解问题 ( ) 2 2 2 2 2 , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) sin , ( ,0) 0, ( ,0) 0 t u u a x L t t x n a u t u L t t L u x u x = = = = = 令： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t)
由边界条件特点,如果设: W(x, t)=sin at 可以保证关于(x,t)的定解问题是齐次边界条件, 定解问题如下: 2 a-v, ox sin ot,(0<x<L, t>0) at (0,t)=0,V(L,t)=0 ox (x,O)=0,V7(x20)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 由边界条件特点，如果设： ( , ) sin x W x t t L = 可以保证关于V(x,t)的定解问题是齐次边界条件， 定解问题如下： ( ) 2 2 2 2 2 2 sin , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) 0 ( ,0) 0, ( ,0) t V V x a t x L t t x L V t V L t x V x V x L = + = = = = −
该定解问题继续用函数分解方法可以求出。但是, 是否可以恰当选择W(x,t),使关于V(x,t)的定解问题 成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题? 由原定解问题边界条件特点,欲使边界条件齐次化, 可假定: W(x, t)=X(x)sin ot 将u(x,t)=V(xt)+X(x) snot代入定解问题中分析,要 使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界 条件,只需X(x)满足: X"+-X=0 X(0)=0,X(L)=1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 该定解问题继续用函数分解方法可以求出。但是， 是否可以恰当选择W(x,t)，使关于V(x,t)的定解问题 成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？ 由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化， 可假定： W x t X x t ( , ) ( )sin = 将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sinωt代入定解问题中分析，要 使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界 条件，只需X(x)满足： 2 2 0 (0) 0, ( ) 1 X X a X X L + = = =