电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三章 分离变量法（3.3）非齐次边界条件定解问题求解

于是得W(x,t的一种选择式为: W(x,1)=7[()-()] x+1(t 将下式 t=+t1+ 代入原定解问题中 av at a+f1(x,t),(0<x<L,t>0) 水水 x=0 x==0 |=o=91(x) 0=v1(x)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6  2 1 1  1 W x t u t u t x u t ( , ) ( ) ( ) ( ) L = − +       − = + + x L u u u V u 2 1 1 于是得W(x,t)的一种选择式为： 将下式 代入原定解问题中： 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 ( , ),(0 , 0) 0 ** ( ), ( ) x x L t t V V a f x t x L t t x V V V V x x t   = = = =    = +        = =    = =  

其中: f1(x,1)=f(x,1)-”(0)×<2(1)-n() 0(x)=0(x)-4()+2(0)-41(0) v(x)=v(x)-n(0)+ l2(0)-l1(0) (*)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题,可 用函数分解法进一步求解! 注:上面定解问题边界条件是第一类的,如果是其它 情形,只需恰当设置待定多项式的形式,也可以求出 需要的W(x,t,具体过程如下:

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7                   −  = −  +       − = − +        −  = −  + x L u u x x u x L u u x x u x L u t u t f x t f x t u t (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1     其中： (**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可 用函数分解法进一步求解！ 注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它 情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出 需要的W(x,t),具体过程如下：

1)、若边界条件为: l41=0=()1|-=2( 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: wlxo=u,(D), WlkL=u,(0) 可令:(x,1)=A()x+B( W(x,t)=1()+l2()x

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 (1)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L = = = = 可令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 1 2 W x t u t u t x ( , ) ( ) ( ) = +

(2)、若边界条件为: x=0=1(t), =L-l 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: Wx|-0=4(O,W|=a=() 可令:(x,1)=A()x+B( W(x,D)=l41(1)x+2()-12()L

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (2)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L = = = = 可令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 1 2 2 W x t u t x u t u t L ( , ) ( ) ( ) ( ) = + −

(3)、若边界条件为: xx=0 xxl=u 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: W1|0=()w=n(O 可令:W(x,)=A(1)x2+B()x uo(t W(x2t)=v41(1)x+-2 2L

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (3)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x x L = = = = 可令： 2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( ) = +2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) 2 u t u t W x t u t x x L − = +