《高等代数与解析几何》课程教学资源（书籍教材）高等代数指导用书

G高等代数学习指导书9.证明：(f(x)，g(x)=1的充分必要条件是(f(x)g(x)，f(x)+g(x)=1.10.设f(x)是非零多项式，h(x)是任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，则(f(x), g(x)h(x)=(f(x),h(x)11.设f(x),g(x)是非零多项式，证明：若对任意多项式h(x)，由f(x)g(x)h(x)都可得f(αx)h(x)，则(f(x)，g(x)=1;若对任意多项式h(x)，由f(x)h(x)，g(x)h(x)，都可得到f(x)g(x)h(x)，则(f(x), g(x)=1.12.设f(x)=(x-a)x-a)..(x-a,)-1，其中a，a,，a为互不相同的整数，证明：f(x)在有理数域上不可约.13.判断下列多项式有无重因式，若有，求重因式的重数（1）f(x)=x5-5x*+7x3-2x2+4x-8;(2) f(x)=x+4x2-4x+3;(3) f(x)=x-6x2-8x-3.2X"没有重因式14.证明：f(x)=1+x++...+2!n!15.设f(x)=3x+4x3-x +4x-4，g(x)=x-6x+11x-2x2-12x+8.2是否是f(x)，g(x)的根？是几重根？16.当α满足什么条件时，一1是f(x)=x-ax2-ax+1的重根？17.设f(x)是整系数多项式，试证明：如果f(O)，f()都是奇数，则f(x)没有整数根.18.求以1，1+i为根的次数最低的实系数多项式，19.已知多项式f(x)=x+2x2-3x-10有一根-2+i，求f(x)的所有根20.求下列整系数多项式的有理根，(1）x3-6x2+15x-14=0,（2）4x*-7x2-5x-1=0,（3）x*-6x+10x-2x-3=0.21.证明下列多项式在有理数域上不可约，（1）5x-6x2+12x+6,(2) x+x+1.五、习题参考答案1. （1）设f(x)=g(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或者degr(x)<degg(x)，因此，26

高等代数学习指导书 26 G 9. 证明：( f (x)，g x( )) 1 = 的充分必要条件是( f (x)g(x)，f (x) + = g x( )) 1． 10.设 f x( ) 是非零多项式，h x( ) 是任意多项式，证明：若( f (x)，g x( )) 1 = ，则 ( f (x)， ， g()( x h x)) = ( f (x) h x( )) ． 11.设 f (x), g x( ) 是非零多项式，证明： 若对任意多项式h x( ) ，由 f (x) g( ) x h x( )都可得 f (x) h x( ) ，则( f (x)，g x( )) 1 = ； 若对任意多项式 h x( ) ，由 f (x) h(x)，g(x) h x( ) ，都可得到 f (x)g(x) h x( ) ，则 ( f (x), g x( )) 1 = ． 12.设 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 1 n f x = x - a x - a L x a - - ，其中 1 2 n a，a a ， ，L 为互不相同的整数， 证明： f x( ) 在有理数域上不可约． 13.判断下列多项式有无重因式，若有，求重因式的重数． （１） 5 4 3 2 f (x) = x - 5 7 x + x - 2x x + - 4 8； （２） 4 2 f (x) = xxx + 4 - + 4 3； （３） 4 2 f (x) = x - 6x x - - 8 3． 14.证明： 2 ( ) 1 2! ! n x x f x x n = + + + + L 没有重因式． 15.设 4 3 2 f (x) = + 3x 4x - x x + - 4 4 ， 5 4 3 2 g(x) = x - 6x +11x - 2x x - + 12 8 ．２是 否是 f (x)，g x( ) 的根？是几重根？ 16.当 a 满足什么条件时，－１是 5 2 f (x) 1 = x - ax - + ax 的重根？ 17.设 f x( ) 是整系数多项式，试证明：如果 f f (0)， (1) 都是奇数，则 f x( ) 没有整 数根． 18.求以1，1 i + 为根的次数最低的实系数多项式． 19.已知多项式 3 2 f (x) = x + 2x x - - 3 10 有一根 - +2 i ，求 f x( ) 的所有根． 20.求下列整系数多项式的有理根． （１） 3 2 x - 6x x +15 - = 14 0 , （２） 4 2 4x - 7x x - 5 - =1 0 , （３） 4 3 2 x - 6x +10x x - 2 - = 3 0 ． 21．证明下列多项式在有理数域上不可约． （１） 4 3 5x -++ 6x x 12 6， （２） 6 3 x x + +1． 五、习题参考答案 1．（１）设 f (x) = + g(x)q(x) r x( ) ，其中 r x( ) 0 = 或者deg r(x) < deg g x( ) ，因此

董多项式章f(x)h(x)= g(x)h(x)q(x)+r(x)h(x), r(x)h(x)=0 或者 degr(x)h(x)<degg(x)h(x) ,故f(x)h(x)除以g(x)h(x)所得的商仍为q(x)，余式为r(x)h(x);(2 ) f(x)=(cg(x)×q(x)+r(x)，且r(x)=0或者degr(x)<degcg(x)，故(x)除以cg(x)所得的商为≥g(x),余式仍为r(x)。C2.仿例题4、5可求得：(1) g(x)=x2 +2, r(x)=x2 +6x-5;(2) g(x)=x+x-1, r(x)=-5x+7;14可用综合除法求得g(x)=3x+9x3-18x2-3x-7，r(x)=3g(x)= x3 - 3x2 +9x -27, r(x)=64 .3.用综合除法，可得f(1+i)=-9+2i，f(5)=815.4.用带余除法得x+px+g除以x2+mx-1的余式为r(x)=(m2+p+1)x+q-m,故当r(x)=(m2+p+1)x+q-m=0，即m2+p+1=0且q-m=0时，x+px+q被x2+mx-1整除.5.(1)用带余除法，用g(x)去除(x)得余式r(x)=(a-3)x+b+7,于是a=3，b=-7.(2)用综合除法或者带余除法得r(x)=(3a+b+8)x-(2a+7)=0，故3a+b+8=0,0解得a=-号，b=号[2a+7=0.20-2'6.设f(x)f(x)=g,(x)g(x)h(x),g(x)=f(x)h(x),于是有f(x)f(x)=f(x)h(x)g2(x)h(x)f.(x)±0,故得f(x)=g2(x)h(x)h(x)，从而g2(x)f2(x).例如: f(x)=(x-1)(x-2), f(x)=(x+1)(x+2), g(x)=x-2, g2(x)=x2 -1,则g(x)g2(x)f(x)f(x)，且g(x)f(x)，但g2(x)不能整除f(x).7.（1)仿照例题7可求得(f(x),g(x)=x-1, u(x)=-Ix+I, ,(x)=2x2_2x-1:3*333(2) (f(x),g(x)=x2 -2, 且u(x)=-x-1, v(x)=x+2 .27

第 二 多项式 章 27 f ()() x h x = g()( x h x)q(x) + r()() x h x ， r(x)h(x) = < 0 或者 deg r()( x h x) deg g()() x h x ， 故 f (x)h x( ) 除以 g()() x h x 所得的商仍为q x( ) ，余式为r()() x h x ; （２） 1 f (x) (cg(x)) q(x) r x( ) c = ´ + ，且 r x( ) 0 = 或者deg r(x) < deg cg x( ) ，故 f x( ) 除以cg x( ) 所得的商为 1 q x( ) c ，余式仍为r x( ) ． 2．仿例题４、５可求得： （１） 2 2 q(x) = x + 2，r(x) = x x + - 6 5 ； （２） 2 q(x) = x + x -1，r(x x ) = - + 5 7 ； 可用综合除法求得 4 3 2 14 ( ) 3 9 18 3 7 ( ) 3 q x = + x x - x - x - ，r x = - ． 3 2 q(x) = x - 3x + 9x - = 27，r x( ) 64 ． 3．用综合除法，可得 f (1+ i f ) = -9 + = 2i， (5) 815． 4．用带余除法得 3 2 x + px + q 除以 1 x + - mx 的余式为 2 r(x) = (m + p +1)x + - q m ， 故当 2 r(x) = (m + p +1) 0 x + q m- = ，即 2 m + p +1= 0 0 且q m- = 时， 3 x + + px q 被 2 x + - mx 1整除． 5.(1)用带余除法，用 g(x)去除 f(x)得余式 r(x) = (a - 3) 7 x b + + ， 于是a b = 3 7 ， = - ． (2) 用 综 合 除法或者 带 余 除 法 得 r(x) = (3a + b + 8)x a - (2 + = 7) 0 ， 故 3 8 0, 2 7 0. a b a ì + + = í î + = 解得 7 5 2 2 a b = - = ， ． 6.设 1 2 1 2 f (x) f (x) = g (x)g ()() x h x ， 1 1 1 g (x) = f (x)h x( ) ， 于是有 1 2 f (x) f x( ) = 1 1 f (x)h x( ) 2 1 g (x)h(x)，f x( ) 0 ¹ ， 故得 2 2 1 f (x) = g ( ) x h(x)h x( ) ，从而 2 2 g (x) f x( )． 例如： 1 2 f (x) = (x -1)(x - 2)， ， f (x) = (x x + + 1)( 2) 2 1 2 g (x) = x - 2，g (x x ) 1 = - ，则 1 2 1 2 g (x)g (x) f (x) f x( ) ，且 1 1 g (x) f x( ) ，但 2 g x( ) 不能整除 2 f x( ) ． 7．(1)仿照例题７可求得 ( f (x), g(x x )) 1 = - ， 1 1 ( ) 3 3 u x x = - + ， 2 2 2 ( ) 1 3 3 v x = x x - - ； (2) 2 ( f (x), g(x x )) 2 = - ，且u(x) = -x -1，v(x x ) 2 = + ．

G高等代数学习指导书8. 设(f(x),g(x)=d(x)，f(x)=d(x)f(x)，g(x)=d(x)gi(x)由(x)u(x)+g(x)(x)=d(x),得f(x)u(x)+gi(x)(x)=1,从而(u(x), (x)=1.9.充分性：若(f(x)g(x)，f(x)+g(x)=1，则存在u(x)，(x)，使f (x)g(x)u(x)+(f(x)+g (x)v(x)=1,即f(x)[u(x)g(x)+v(x))+g (x)v(x)=1,从而(f(x),g(x))=1.必要性：若(f(x),g(x)=1，则存在u(x)，(x)，使f(x)u(x)+g(x)(x)=1,由此可得(u(x)-(x)f(x)+v(x)(f(x)+ g(x)=1,(r(x)-u(x)g(x)+u(x)(f(x)+ g(x) =1.于是(f(x),f(x)+g(x))=1，(g(x),f(x)+g(x))=1，再由例题9知(f(x)g(x), f(x)+g(x)=1.10.证明：设(f(x),g(x)h(x)=d(x)，则d(x)f(x)，d(x)g(x)h(x)，但由于(f(x),g(x)=1，故有(d(x),g(x))=1，从而d(x)h(x)，即d(x)是f(x)与h(x)的一个公因式。又f(x)与h(x)的任意公因式都是f(x)与g(x)h(x)的公因式，故d(x)是f(x)与h(x)的最大公因式. 即(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))11.(1)反证法.设(f(x),g(x)=d(x), degd(x)>0, f(x)=d(x)f(x), g(x)=d(x)g,(x),则deg()<deg (x), g()(x)=g(x)d(x)()=g(x)(x), ()lg(x)(), 但f(x)不能整除f(x)，与已知矛盾.故(f(x),g(x)=1.(2)与(1)的证法相同.由（1)知，f(x)g(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)，但f(x)g(x)却不能整除g(x)f(x)，矛盾.12.证明：反证法。设f(x)在有理数域上可约，则f(x)可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即f(x)=g(x)h(x)，f(a,)=g(a,)h(a)=-1(i=1,2,，n)，则有g(a,)=-h(a,)，即g(a,)+h(a,)=0(i=1,2,，n)，可见多项式g(x)+h(x)有n个不同的根，但deg(g(x)+h(x)<n，故g(x)+h(x)=0，即g(x)=-h(x)，f(x)=-[g(x)，于是f(x)的首项系数小于0，与已知f(x)的首项系数为1矛盾.故f(x)在有理数域上不可约.13.（(1）由(f(x),f(x)=(x-2)，故(x-2)为f(x)的三重因式.(2）由于(f(x),f(x)=1，故f(x)没有重因式(3）由于(f(x),f(x)=(x+1)2，故(x+1)为f(x)的三重因式.14.证明：因为(n)=()+"，（()+"，()-(()=1，故28

高等代数学习指导书 28 G 8．设( f (x), g(x)) = d x( ) ， 1 f (x) = d(x) f x( ) ， 1 g(x) = d(x)g x( ) . 由 f (x)u(x) + g(x)v x( ) = d x( ) ，得 1 1 f (x)u(x) + = g (x)v x( ) 1，从而( ( u x)，v x( )) 1 = ． 9．充分性：若( f (x)g(x)，f (x) + = g x( )) 1，则存在u(x)，v x( ) ，使 f (x)g()( x u x) + ( f (x) + = g (x))v x( ) 1， 即 f (x)[ ( u x)g(x) + v(x)] + = g (x)v x( ) 1，从而( f (x), g x( )) 1 = ． 必要性：若( f (x), g x( )) 1 = ，则存在u(x)，v x( ) ，使 f (x)u(x) + = g(x)v x( ) 1， 由此可得 ( ( u x) - v(x)) f (x) + v(x)( f (x) + = g x( )) 1,(v(x) - u(x))g(x) + u(x)( f (x) + = g x( )) 1. 于是( f (x), f (x) + = g x( )) 1，(g(x)，f (x) + = g x( )) 1，再由例题９知 ( f (x)g(x)，f (x) + = g x( )) 1． 10 ．证明： 设 ( f (x), g()( x h x)) = d (x)，则 d (x) f (x)，d (x) g()() x h x ，但 由于 ( f (x), g x( )) 1 = ，故有(d(x), g x( )) 1 = ，从而 d(x) h x( ) ，即 d x( ) 是 f x( ) 与 h x( ) 的一 个公因式．又 f x( ) 与 h x( ) 的任意公因式都是 f x( ) 与 g(x)h x( )的公因式，故d x( ) 是 f x( ) 与 h x( ) 的最大公因式．即( f (x), g()( x h x)) = ( f (x)，h x( )) ． 11．(1)反证法．设 ( f (x), g(x)) = > d(x), deg d x( ) 0, 1 f (x) = d(x) f x( ), 1 g(x) = d (x)g x( ), 则 d 1 eg f (x) < deg f x( ) ， 1 1 1 g(x) f (x) = = g (x)d(x) f x( ) 1 g (x) f x( ), 1 f (x) g(x) f x( ) ，但 f x( ) 不能整除 1 f x( ) ，与已知矛盾．故( f (x), g x( )) 1 = ． （2）与（1）的证法相同．由（1）知， 1 1 f (x) g(x) f (x)，g(x) g(x) f x( ) ，但 f (x)g x( ) 却不能整除 1 g(x) f x( ) ，矛盾． 12．证明：反证法．设 f x( ) 在有理数域上可约，则 f x( ) 可分解成两个次数较低 的整系数多项式的乘积，即 f (x) = g()() x h x ， ( ) ( ) ( ) 1( 1 2 i i i f a = g a h a = - =i n ，L， ）， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0( 1 2 ) i i i i g a = -h a ，即 g a + h a = =i n ， ，L ，可见多项式 g(x) + h x( ) 有 n 个 不 同 的 根 ， 但 deg(g(x) + < h(x n )) ， 故 g(x) + = h x( ) 0 ， 即 g(x) = -h x( ) ， 2 f (x) = -[g x( )] ，于是 f x( ) 的首项系数小于０，与已知 f x( ) 的首项系数为１矛盾．故 f x( ) 在有理数域上不可约． 13．（1）由 2 ( f (x), f ¢(x x )) = - ( 2) ，故(x - 2) 为 f x( ) 的三重因式． （2）由于( f (x), f x ¢( )) 1 = ，故 f x( ) 没有重因式． （3）由于 2 ( f (x), f ¢(x x )) = + ( 1) ，故(x +1) 为 f x( ) 的三重因式． 14．证明：因为 1 ( ) ( ) ! n f x f x x n = + ¢ ， 1 1 ( ) , ( ) , ( ) 1 ! ! n n f x x f x x f x n n æ ö æ ö ç ¢ + ÷ = = ç ÷ è ø è ø ，故

量多项式章J(x)没有重根.15.利用综合除法，得f(2)=80±0，g(2)=0，所以2不是(x)的根，2是g(x)的根又由于g(2)=g(2)=0，g"(2)=18±0，所以2是g(x)的三重根.16.因-1是f(x)的重根，故-1是f(x)及(x)的根，于是f(-1)=-1-a+a+1=0，f(-1)=5+2a-a=0，解得a=-5.17.反证法。设a为f(x)的整数根，则(x-a)f(x)，故可设f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)也是整系数多项式.f(0)=-ag(0)f(l)=(1-a)g(I)，因a与1-a是相邻的整数，所以必有一个为偶数，从而f(O)，(1)两个整数中必有一个为偶数．与已知矛盾.18. f(x)=(x -1)(x -1-i)(x -1+ i)=(x-1)(x2 -2x+2)= x -3x2 +4x-2 .19.f(x)是实系数多项式，虚根总是成对出现，故-2+i，-2-i都是f(x)的根，(x+2-i)x+2+i)=x2+4x+5整除f(x)，利用带余除法或根与系数的关系可知，f(x)另有一根为2：即f(x)的所有的根为-2+i,-2-i,2.20.（1）f(x)的可能的有理根是：±1，±2，±7，±14，仿照例16可得：2是f(x)的有理根（2）_1月是二重有理根，2（3）3，1是有理根21.（1）取p=3，由于3不能整除5，3能整除一6，12，6；但32不能整除6，由艾森斯坦因判别法，知f(x)在有理数域上不可约.（2）.令x=y+1，代入f(x）可得g(y)=f(y+1)= y6 +6ys +15y*+21y3 +18y2+9y+3,取素数p=3，由艾森斯坦因判别法，知g(y)在有理数域上不可约，从而f(x)在有理数域上不可约，六、思考题参考答案82.11.如果f(x)±0，那么x*0且g(x)+h(x)0.此时，比较f(x)=x(g(x)+h(x)两边的次数，不难看到，右边的次数为奇数，而左边的次数是偶数，矛盾.这说明，只能f(x)=0，从而g(x)+h(x)=0，即g(x)=h(x)=0.这个结论对复数域上的多项式不成立，例如：f(x)=0,g(x)=1h(x)=i+0，但是f(x)=x(g(x)+h(x).2.正确29

第 二 多项式 章 29 f x( ) 没有重根． 15．利用综合除法，得 f g (2) = 80 ¹ = 0， (2) 0 ，所以２不是 f x( ) 的根，２是 g x( ) 的根．又由于 g¢(2) = g g ¢¢(2) = 0， ¢¢¢(2) = ¹ 18 0，所以２是 g x( ) 的三重根． 16 ． 因 -1 是 f x( ) 的 重 根 ， 故 -1 是 f x( ) 及 f x ¢( ) 的 根 ， 于 是 f (-1) = -1- a a + + =1 0 ， f ¢(-1) = 5 + 2 0 a a - = ，解得a = -5 ． 17．反证法．设 a 为 f x( ) 的整数根，则（x - a) f x( ) ，故可设 f (x) = - (x a)g x( ) ， 其中 g x( ) 也是整系数多项式． f (0) = -ag(0)，f (1) = - (1 a g) (1) ，因 a 与 1-a 是相邻 的整数，所以必有一个为偶数，从而 f f (0)， (1) 两个整数中必有一个为偶数．与已知 矛盾． 18． 2 3 2 f (x) = (x -1)(x -1- i)(x -1+ i) = (x -1)(x - 2x + 2) = x - 3x x + - 4 2 ． 19．f x( ) 是实系数多项式，虚根总是成对出现，故-2 + i，- - 2 i 都是 f x( ) 的根， 2 (x + 2 - i)(x + 2 + i) = x x + + 4 5 整除 f x( ) ，利用带余除法或根与系数的关系可知， f x( ) 另有一根为２．即 f x( ) 的所有的根为-2 + i， ， - - 2 i 2 ． 20．（１） f x( ) 的可能的有理根是：±1， ±±± 2 7 14，仿照例１６可得：２是 f x( ) 的有理根． （２） 1 2 - 是二重有理根． （３）３，１是有理根． 21．（１）取 p = 3 ，由于３不能整除５，３能整除－６，１２，６；但 2 3 不能 整除６，由艾森斯坦因判别法，知 f x( ) 在有理数域上不可约． （２）．令 x y = +1，代入 f x( ) 可得 6 5 4 3 2 g( y) = f ( y +1) = y + 6y +15y + 21y +18y y + + 9 3 ， 取素数 p = 3 ，由艾森斯坦因判别法，知 g y( ) 在有理数域上不可约，从而 f x( ) 在 有理数域上不可约． 六、思考题参考答案 §2.1 1. 如 果 f x( ) ¹ 0, 那 么 x ¹ 0 且 2 2 g (x) + ¹ h x( ) 0. 此时， 比 较 2 2 f (x) = + x(g x( ) 2 h x( )) 两边的次数，不难看到，右边的次数为奇数，而左边的次数 是偶数，矛盾. 这说明，只能 f x( ) = 0, 从而 2 2 g (x) + = h x( ) 0, 即 g(x) = = h x( ) 0 . 这 个结论对复数域上的多项式不成立. 例如： f (x) = 0, g(x) =1, h x( ) = ¹i 0 ，但是 2 2 2 f (x) = + x(g (x) h x( )) . 2. 正确

G高等代数学习指导书82.21.一定。这是因为：由x*(x)得于(x)=xu(x)，从而f*(0)=0u(0)=0,即f()=0.另一方面，根据带余除法，f(x)=xg(x)+r，所以f(0)=0g(0)+r=r,即r=f(0)=0, 而f(x)=xq(x).2.直接利用例2.2.3的结论，f(x)被g(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1)除所得的余式是r(0)= 2)-++2(-)-)/(2) (7+3a +b) +8+ 2a, 2 -(-1)2 (-1)而g(x)整除f(x)意味着r(x)=0，即7+3a+b=8+2a=0，所以a=-4,b=53.用综合除法，由于-2|31020-2Y-4-8-21 22-411-2820-2|1-410-24-2±126-62221241 8现在，考察每次综合除法所得的余数即可82.31. 是。因为d(x)是f(x),g(x)的公因式，如果又有c(x)是f(x),g(x)的公因式，那么，c(x)|u(x)f(x)+(x)g(x)=d(x)。依最大公因式的定义，即得结论2.有。事实上，由f(x)=g(x)g(x)+r(x)，可得d(x)是f(x),g(x)的公因式时，d(x)f(x)-g(x)g(x)=r(x)，从而d(x)是g(x),r(x)的公因式.同理可得，当c(x)是g(x),r(x)的公因式时，c(x)也是f(x),g(x)的公因式.3.由定理2.3.2,对于一般的多项式f(x)与g(x)，不存在互素的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)+(x)g(x)=1，而当多项式f(x)与g(x)互素时，则这样的多项式u(x),(x)存在4.令n=kd+r,0≤r<d.注意到：x"-1=xd+r-1=(xd-1)x+(x-1)如果x"-1|x"-1，那么，上式表明x-1|x-1，从而r=0,d[n反之，如果d|n，即r=0,那么x-11(x）*-1=x"-15.当f(0)±0时，或者说(x,f(x))=1时，结论正确30

高等代数学习指导书 30 G §2.2 1. 一定. 这是因为：由 ( ) k x f x 得 ( ) ( ) k f x = xu x ，从而 (0) 0 (0) 0, k f u = = 即 f (0) 0 = . 另一方面，根据带余除法， f (x) = + xq( ) x r ，所以 f (0) = 0q(0) , + =r r 即 r f = = (0) 0, 而 f (x) = xq x( ) . 2. 直接利用例 2.2.3 的结论， f x( ) 被 2 g(x x ) = - x - 2 = (x x - + 2)( 1) 除所得的余 式是 (2) ( 1) 2 ( 1) ( 1) (2) ( ) (7 3 ) 8 2 2 ( 1) 2 ( 1) f f f f r x x a b x a - - - - - = + = + + + + - - - - ， 而 g x( ) 整除 f x( ) 意味着r x( ) 0 = ，即7 + 3a + b a = 8 + = 2 0, 所以a b = - = 4, 5 . 3. 用综合除法，由于 2 1 0 2 0 3 2 4 4 8 2 1 2 2 4 11 2 8 20 2 1 4 10 24 2 12 6 2 1 6 22 2 4 1 8 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 现在，考察每次综合除法所得的余数即可. §2.3 1. 是. 因为 d x( ) 是 f (x), g x( ) 的公因式，如果又有c x( ) 是 f (x), g x( ) 的公 因式，那么，c(x) u(x) f (x) + = v x( )g(x) d x( ) . 依最大公因式的定义，即得结论. 2. 有. 事实上，由 f (x) = + g(x)q(x) r x( ) ，可得d x( ) 是 f (x), g x( ) 的公因式时， d(x) f (x) - = g()( x q x) r x( ) ，从而 d x( ) 是 g(x),r x( ) 的公因式. 同理可得，当c x( ) 是 g(x),r x( ) 的公因式时，c x( ) 也是 f (x), g x( ) 的公因式. 3. 由定理 2.3.2，对于一般的多项式 f x( ) 与 g x( ) ，不存在互素的多项式u(x),v x( ) 使 u(x) f (x) + = v x( )g x( ) 1 ，而当多项式 f x( ) 与 g x( ) 互素时，则这样的多项式 u(x),v x( ) 存在. 4. 令n = kd + r,0 . £ <r d 注意到： 1 1 ( 1) ( 1). n kd r kd r r x x x x x + - = - = - + - 如果 1| 1 d n x x - - ，那么，上式表明 1| 1 d r x x - - ，从而 r = 0, | d n . 反之，如果d n| ，即r = 0, 那么 1|( ) 1 1 d d k n x - x x - = - . 5. 当 f (0) 0 ¹ 时，或者说(x, f x( )) 1 = 时，结论正确