《高等代数与解析几何》课程教学资源（书籍教材）高等代数指导用书.pdf_P11-P15

第二多项式章 11 （6）最大公因式设 f (x)、、 g(x) d x( ) 都是数域 K 上的多项式，如果 ① d x( ) 是 f x( ) 和 g x( ) 的公因式； ② f x( ) 、 g x( ) 的任意一个公因式都能整除d x( ) ；则称 d x( ) 为 f x( ) 、 g x( ) 的一个最大公因式；首项系数为 1 的最大公因式记为 ( f (x), g x( )) ．类似地可定义多个多项式的最大公因式．（7）互素若多项式 f x( ) 、g x( ) 的最大公因式为非零常数，则称 f x( ) 与 g x( ) 互素．（8）不可约多项式设 f x( ) 是数域 K 上的一个次数大于零的多项式，如果 f x( ) 不能分解成 K x[ ] 中的两个次数比它低的多项式的乘积，则称 f x( ) 是数域 K 上的一个不可约多项式；否则称 f x( ) 在数域 K 上可约．注意：零多项式和零次多项式既不能说它们可约，也不能说它们不可约．（9）重因式设 p x( ) 是数域 K 上的不可约多项式， f x( ) 是数域 K 上的任意多项式，k 是非负整数，如果 ( ) ( ) k p x f x ，且 1 ( )k p x + 不能整除 f x( ) ，则称 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式；k 称为重因式的重数；一重因式称为单因式；重数大于 1 的因式叫做重因式．（10）多项式的根设 f x( ) 是数域 K 上的一个多项式，cÎK，如果 f c( ) 0 = ，则称 c 为 f x( ) 在 K 中的一个根．（11）本原多项式如果一个整系数多项式的系数互素，那么称这个多项式为一个本原多项式． 2．基本结论（1）次数的性质：设 f x( ) 、 g x( ) 是数域 K 上的两个多项式，并且 f x( ) ¹ 0, g x( ) ¹ 0, 那么 ①当 f (x) ± g(x) ¹ 0 时, deg( f (x) ± £ g(x)) max{deg f (x),deg g x( )}； ②deg( f (x)g(x)) = + deg f (x) deg g x( )； ③deg kf (x) = ¹ deg f (x k ), 0. （2） f (x)g(x) = 0 Û f (x) = = 0或者g x( ) 0 . （3）如果 f (x)g(x) = f ()( x h x)，且 f (x) ¹ = 0, 则必有 g(x) h x( ) ．（4）整除的性质： ①零次多项式(非零常数)能整除任意多项式，即对"cÎ ¹ K c ， 0, " Î f (x) K[x]，有c f x( ) ；而零多项式能被任意多项式整除，即 " Î f (x) K[x]，有f x( ) 0 ; ②每一个多项式 f x( ) 都能被cf x( ) 整除，这里c K Î 为非零常数;

高等代数学习指导书 12 G ③若 f (x) g(x)，g(x) h(x)，则 f (x) h x( ) ; ④若 f (x) g(x)，g(x) f (x)，则 $c Î K，且 c ¹ = 0 使 f (x) cg x( ) ; ⑤ 若 ( ) ( ) 1 2 i f x g x ，i k = ，，L ，则对 ( ) [ ] 1 2 i "u x Î = K x ，i n ，，L ，都有 1 ( ) ( ) ( ) k i i i f x u x g x = å ；特别地，如果 f (x) g(x)，f (x) h(x)，那么 f (x) (g(x) ± h x( )) ，且对" Î u(x) K x[ ], 都有 f (x) g(x)u x( ); ⑥多项式的整除性与系数所在的数域无关．（5）带余除法：对 " Î f (x)、， g(x) K x[ ] 并且 g x( ) 0 ¹ ，则必定存在 q x( ) 、 r(x)Î K x[ ]，使 f (x) = + g(x)q(x) r x( ) . 这里r(x) = < 0 或者 deg r(x) deg g x( ) ，且满足以上条件的多项式q(x)和r x( ) 是唯一的．（6） K x[ ] 中的任意两个多项式 f (x)、g x( ) 的最大公因式一定存在，且是 f (x)，g x( ) 的组合，即如果d x( ) 是 f (x)与g x( ) 的最大公因式，则存在 u(x)，v(x)Î K x[ ]，使 d(x) = + f (x)u(x) g(x)v x( ) . （*）注意：如果 f (x)，， g(x)Î K x[ ] 且有等式（*），那么 d x( ) 不一定是 f (x)、g x( ) 的最大公因式．（7）若 d x( ) 是 f (x)、g x( ) 的一个最大公因式，则 1 d x( )也是 f (x)、g x( ) 的最大公因式Û 1 d x( )＝cd x( ) ，其中cÎ ¹ K c ， 0．（8）若 f (x) g x( ) ，则 f x( ) 是 f (x)与g x( ) 的最大公因式．（9）用辗转相除法可以求两个多项式的最大公因式．（10）下列结论等价： ① f (x)与g x( ) 互素； ②( f (x)，g x( )) 1 = ； ③存在u(x)，v(x)Î K[x]，使 f ()( x u x) + = g(x)v x( ) 1．（11）互素的性质：设 f (x)，， g(x) h(x)Î K x[ ]， ①若( f (x)，g(x)) = = 1，（f (x)，） h x( ) 1，则( f (x)，g()( x h x)) 1 = ； ②若 f (x) g()( x h x)，且( f (x)，g x( )) 1 = ，则 f (x) h x( ) ； ③若 f (x) h(x)，g(x) h(x)且( f (x)，g x( )) 1 = ，则 f (x)g(x) h x( )； ④设 1 2 ( f (x)，g(x)) = d(x)，， f (x) = = q (x)d(x) g(x) q (x)d x( ) ，则 1 2 (q (x)，q x( )) 1 = ．

第二多项式章 13 （12）关于不可约多项式有以下主要结论： ①数域 K 上的次数大于零的多项式 f x( ) 在数域 K 上不可约的充分必要条件是 f x( ) 在 K x( ) 中只有平凡因式； ②任意一个一次多项式都是不可约多项式； ③如果 p x( ) 是数域 K 上的不可约多项式，则cp x( ) 也是 K 上的不可约多项式，其中c Î ¹ K c ， 0； ④如果 p x( ) 是不可约多项式， f x( ) 是任意多项式，则或者 p(x) f x( ) ，或者 ( p(x)，f x( )) 1 = ； ⑤设 p x( ) 为数域 K 上的不可约多项式，对 " Î f (x)，g(x) K x[ ] ，如果 p(x) f (x)g x( ) ，那么必有 p(x) f (x) 或者 p(x) g x( ) ； ⑥数域 K 上的任意一个次数大于零的多项式 f x( ) 都可以分解成若干个不可约多项式的乘积； ⑦复数域上只有一次多项式是不可约的；即复数域上的多项式 f x( ) 不可约 Û = deg f x( ) 1； ⑧实数域上只有一次和部分二次多项式是不可约的；即实数域上的多项式 f x( ) 在实数域上不可约Û = deg f x( ) 1或者 2 f ( ) x = ax + + bx c 且 2 b - < 4 0 ac ； ⑨有理数域上任意次的不可约多项式都存在； ⑩ (艾森斯坦判别法) 设 1 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a - = + - +L+ + 为一个整系数多项式，如果存在素数 p，使 p ai，i n = - 0，1 1 ，，L ；p 不能整除an ； 2 p 不能整除a0 ．那么 f x( ) 在有理数域上不可约．（13）关于多项式的因式分解有以下主要结论： ①若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的一个k k( ³1) 重因式，则 p x( ) 是 f x ¢( ) 的 k -1 重因式； ②不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式当且仅当 p(x) ( f (x)，f x ¢( )) ； ③ f x( ) 没有重因式的充分必要条件是( f (x)，f x ¢( )) 1 = ； ④在复数域上任意一个次数大于零的多项式 f x( ) 都可以唯一地分解成若干个一次因式的乘积，即 f x( ) 在复数域£上的标准分解式为： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k r r r k f x = c x - c x - - c L x c ，其中 1 2 k c，c c ，，L 是互异的复数，c 是常数， 1 2 k r，r r ，，L 是正整数； ⑤ 实数域上任意一个次数大于零的多项式 f x( ) 都可以唯一地分解为一次因式和二次因式的乘积，即 f x( ) 在 ¡ 上的标准分解式为： 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t l l k l k s t t f x = c x - c x - c L L x - c x + p x + q x + + p x q

高等代数学习指导书 14 G 其中 1 2 s c，，c c L，是互异的实数， 1 1 2 2 t t p q ，；p ，q ；； L p q ，是互异的实数对，且满足 2 4 0( 1 2 i i p - q < =i t ，，L ）， 1 1 s t l，L L ，l ，，k k ，都是正整数； ⑥如果一个整系数多项式在有理数域上可约，那么它一定可以分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积； ⑦设 f (x)，g x( ) 的标准分解为： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x = ap x p x L p x （ 0 1 2 i r ³ = ，i s ，L，）， 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s t t t s g x = bp x p x L p x （ 0 1 2 i t ³ = ，i s ，L，），其中 ( )( 1 2 i p x i s = ，L，）为互不相同的首一不可约多项式，则 1 2 1 2 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) m m ms s f x ，g x = p x p x L p x ，其中 min{ } 1 2 mi i i = = r，，t i s ，L，．（14）关于多项式的根有以下主要结论： ①余数定理：设 f (x)Î Î K[ ] x ，c K ，则存在 K 上的多项式 g x( ) ，使 f x( ) = (x - + c)g(x) f c( ) ，特别地，c为f x( )的根的充分必要条件是(x - c) f x( ) ； ②数域 K 上的 n 次多项式 f x( ) 在 K 中最多有 n 个根； ③代数基本定理：任何一个n n( > 0) 次多项式在复数域中至少有一个根； ④任何一个n n( > 0) 次多项式在复数域中有 n 个根（重根按重数计算）； ⑤ 设 f x( ) 是实系数多项式，如果虚数 a b + i (a,b b Î ¹ ¡, 0) 是 f x( ) 的根，则其共轭数a - bi 也是 f x( ) 的根．即实系数多项式的虚数根总是成对出现的； ⑥ 如果 ( ( ) 1) r r s r s s ，， Î = ¢ 且，是整系数多项式 1 1 1 1 0 0 ( ) 0 n n n n f x a x a x a x a a - = + - +L+ + ¹ ，的一个有理根，则必有 n 0 s a ，r a ； ⑦设 f (x)，， g(x)Î K x[ ] 它们的次数不大于 n，如果存在 n+1 个不同的数 1 2 1 n a a a ，，L，，+ 使 ( ) ( ) i i f a = g a ，i n = + 1，2 1 ，，L ，则 f (x) = g x( ) ．（15）关于本原多项式有以下主要结论： ①（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式； ②对任意的 f (x x )Î¤[ ] ，一定存在r Î¤ 及本原多项式 g x( ) ，使 f (x) = rg x( ) ，且 r及g x( ) 除正负号外是唯一的． ③ 设 f x( ) 为整系数多项式， g x( ) 为本原多项式， h(x)ÎQ x[ ] ，如果 f (x) = g()() x h x ，则h x( ) 一定是整系数多项式．

董多项式章3.学习要求一元多项式理论是高等代数的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支必要的基础，它对数学教师掌握数学理论及提高数学素质是十分必要的，在第二章里，应该真正理解多项式、多项式的系数、次数的确切定义，整除性的理论和方法弄清因式、公因式、最大公因式、互素这四个概念之间的相互关系以及它们的性质；熟练运用镶转相除法求两个多项式的最大公因式.掌握不可约多项式的概念与性质、因式分解定理、标准分解式及其意义，会判别一个多项式是否是常见数域（实数域、复数域、有理数域）上的不可约多项式：会利用两个多项式的标准分解式求最大公因式；了解本原多项式的定义及其有关结论：会求整系数多项式的有理根二、难点和重点1.难点：多项式的最大公因式、互素、不可约多项式的有关证明，重因式的判断.2.重点：整除、最大公因式、互素、不可约多项式的有关理论，多项式的因式分解及多项式的根.三、例题与分析例1设f(x)=x+ax+2x2+bx-2能被g(x)=x2-x-2整除，求a，b.分析（1)因为g(x)=(x-2)(x+1)，故(x-2)g(x)且(x+1)g(x)，而g(x)f(x)，由整除的传递性，知(x-2)/f(x)且(x+1)lf(x)，从而f(2)=0，f(-1)=0，得到关于a，b的方程组，解之即得a，b.(2)也可用待定系数法.因g(x）是一个二次多项式，f(x）是四次多项式，故可设g(x)除f(x)的商为一个系数待定的二次多项式，再利用恒等性质可求出a，b.解法1因为g(x).f(x)，所以g(x)的两个根-1和2也是f(x)的根，得[f(-1)=1-a+2-b-2 = 0,(f(2)=16+8a+8+2b-2=0[a+b-1=0,整理得解之得a=-4，b=5.8a+2b+22=0.解法2设x+ax+2x2+bx-2=（x2-x-2)(cx2+dx+e)，比较两边最高次项和常数项的系数，可得c=e=1，于是以上方程变为：x +ax +2x2+bx-2=(x2-x-2)(x2+dx+1)再比较三次，二次，一次项的系数，可得方程组15

第二多项式章 15 3. 学习要求一元多项式理论是高等代数的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支必要的基础，它对数学教师掌握数学理论及提高数学素质是十分必要的．在第二章里，应该真正理解多项式、多项式的系数、次数的确切定义，整除性的理论和方法，弄清因式、公因式、最大公因式、互素这四个概念之间的相互关系以及它们的性质；熟练运用辗转相除法求两个多项式的最大公因式．掌握不可约多项式的概念与性质、因式分解定理、标准分解式及其意义，会判别一个多项式是否是常见数域（实数域、复数域、有理数域）上的不可约多项式；会利用两个多项式的标准分解式求最大公因式；了解本原多项式的定义及其有关结论；会求整系数多项式的有理根．二、难点和重点 1. 难点：多项式的最大公因式、互素、不可约多项式的有关证明，重因式的判断． 2. 重点：整除、最大公因式、互素、不可约多项式的有关理论，多项式的因式分解及多项式的根．三、例题与分析例 1 设 4 3 2 f (x) = x + ax + 2 2 x + - bx 能被 2 g(xxx ) 2 = - - 整除，求a b ，．分析（1）因为 g(x) = (x x - + 2)( 1) ，故(x - + 2) g(x)且(x 1) g x( ) ，而 g(x) f x( ) ，由整除的传递性，知(x - + 2) f (x)且(x 1) f x( ) ，从而 f f (2) = 0， (- = 1) 0 ，得到关于 a b ，的方程组，解之即得a b ，． (2)也可用待定系数法．因 g x( ) 是一个二次多项式， f x( ) 是四次多项式，故可设 g x( ) 除 f x( ) 的商为一个系数待定的二次多项式，再利用恒等性质可求出a b ，．解法 1 因为 g(x) f x( ) ，所以 g x( ) 的两个根-1和 2 也是 f x( ) 的根，得 ( 1) 1 2 2 0, . (2) 16 8 8 2 2 0 f a b f a b ì - = - + - - = í î = + + + - = 整理得 1 0, 8 2 22 0. a b a b ì + - = í î + + = 解之得 a b = - = 4 5 ， . 解法 2 设 4 3 2 2 2 x + ax + 2x + bx - 2 = (x - x - 2)( ) cx + + dx e ，比较两边最高次项和常数项的系数，可得c e = =1，于是以上方程变为： 4 3 2 2 2 x + ax + 2x + bx - 2 = (x - x - 2)(x + + dx 1) . 再比较三次，二次，一次项的系数，可得方程组