r-1=rd+r-1=rd.1-1=ad.r-r+r-1=x(-1)+-1,而1由1-1得-1盾，故=010.设m，n为自然数，证明：（m，n）=1的充要条件是（f(r），g(α))=1.这里f()="-1+"-?+...++1,g()="-1+r"-2+..++1证明：必要性.由（m，n）=1，故3整数u，使um+n=1,若（f(），g（））≠1，则存在公根α1，使α"=α=1，故α=α+=(α")"(α")"=1,矛盾充分性.设（m，n）=d≠1，即m=dqi,n=dq2(2)(-1()-++2+)T-1r-1-1g()+Tr11因为d>1,故d-1+.+r+1lf(r)，g(),与(f(r)，g(a))=1矛盾，从而（m，n）=1.11.设(f()g(r))=1,i,i=1.2,则(i) (f(z)gi(r),fl(r)f(r)+gi(r)g2())=1,这里l,tq,m，r,n均为自然数；(ii)(ft(r)gi().f()gz())=(fi(r),f(r))(gi(r),g2(r)).证明：（i）设不互质，则存在不可约多项式p(z），使p()/ft(r)gi(),p(r)lfy()fz()+gi()g2(r),由()的不可约性，及)()gi(),可得到()f()或()lg(),不妨设()f()，得到p()lgi()g(），从而.12
p(）g()或()gz(）,均矛盾，因而结论成立(ii)显然(fi(r),fz())lfi()gi(),(gi()g2())/f(r)gi(x），又由条件，得((fl(r),fz(r)),(gi(r),g2(r)))=1,故(fi(r),f(r)):(gi(),gz(r))lfi(r)gi(r)同样(fi()，f()）·（gi()gz())lfz()g2()设以r)lf()gi(r）.r)lf(r)g(r），由条件可设r)=g().(),q(r)lfi().(r)lgi()知(()())(）()()g(),故（）f（）g(），因为(）（），我们说（（）g2())=1,若不然存在不可约多项式(),使p()(）,p()g2(),得()|g2(),又p()/f,()与(f.()g2())=矛盾由（（），g())=1故（)f()同样（）g(),故()/((),()),同样()l(gi(),g()),又((),())=1,故()=g(）.()l(fi(),f())(gi(),g2（r）），从而得到结论12.证明：（f(），g(r)）=1充要条件为任给h(r）存在多项式s(r),t(r)使f(r)s(r)+g(r)t()=h(r).证明：必要性显然，下证充分性，由条件设h（z）=1，存在s(r),t(r),使f(r)s(r)+g(r)t(r)=1,故(f(r),g(r))=1.13.设多项式f(r）g(z),h(z)，k(r)满足(r2+1)h(r)+(r+1)f(r)+(r+2)g(r)=0①((2+1)k(r)+(α-1)f(r)+(r—2)g(r)=0②则+1/f(),+1/g().·13·
证明：①×（r一2）一②×（1十2）得(2+1)[(2)h()—(+2)()+[(+1)(—2)-(-1)(r+2)1.f(r)=0,(+1)(2)h()(+2)()—2f()=0因为（2+1）=1，故+1lf（），同样+1/g（）14.设f（r）.g（r)为两个非零多顶式，证明：f（r)与g(r）不互质的充要条件为存在多项式h（），k（x）满足f(r)h(r)+g(r)k(r)=0这里0≤a(h(r))<a(g(r)),0<a(k(r))<a(f(r))证明：先证必要性，设d(r)=(f(r).g(r))1,令f(r)=d(r)f.(r),g(r)=d(r)gi(r),故f(r)g(r)=d(r)fi(r)gi(r),g(r)f(r)=d(r)gi()fi(),f(r)gi(r)g(r)f,(r)=0,由于a(d())>0,故0a(f,())<a(f()),0≤a(gi())<a(g(r))下证充分性，由条件存在h(r），k）满足f(r)h(r)+g(r)k(r)=0,其中0≤a(h(r)<a(g(r)),0<a(k())<a(f())从而f(r)h(r)=一g(α)k(r),若(f(r),g())=1,则f(r)k(),矛盾15.设m为自然数，则g"（x）1fm（）的充要条件为g(α)(f(α).证明：充分性显然，下证必要性，事实上，设g（）的典型分解式为：g(r)=bph(r)."p(r),p（），p（α）为首1的彼此不同的不可约多项式，由g（r）.14
f"(r),因而f(r）的典型分解式为f()=ap().(）().(r),得到pmi(r)...pmk(r)/pmi(r)..*pmk(r)prti(r)..pmk(a),故pm(r）pm(r），得到l<ki,i=l,.",r，故g(r)f(r).16.设P[］为数域P上全体多项式的集合，α为一复数，证明：数集P[α为数域的充要条件为α为P上某个不可约多项式的根.证明：先证充分性，设α是h（r）的根，而h（r）为不可约的首先P[α]≥P，因而P[α]中具有非零数，f（α）≠0,f（α）EPα由于h（r）不可约，故（f（r），h（r））=1或h（r）lf（r），但f[a]+o,故(f(r),h(r))=1,3u(r),v(r)使u()f(r)十v(r)h(r)=lu(α)f(a)=1,f(a)在Pα中有逆元，因而Pα为域下证必要性，设f(α)EP[α,f(α)≠0，由于P[α为数域，因而EP[a],这样存在g(α)EP[a],使而(a)=g(a),故f(a)g(a)-1=0,这样就存在g()E使g(α)=0令)EP[α)=0,而满足此条件的多项式中）次数最低，我们断定）不可约，否则)=()()()=(α)()=0,故9（α）=0或（α）=0，均矛盾，从而）不可约17.设f（r），g（）为两个不全为零的多项式，n为自然数，证明:(f()g(r))"=(f"(r).g"(r))证明：首先(f(），g(r))"l(），g(r）)，又·15·
f(r)g(r)=1：(f(r),g(r))'(f(r),g())f"(r)g(r)"浙=1,((f(r),g(α))(f()，g()))日u(r),v(r)使f"(r)g(r)*()()g()+()((g()=1,u(r)f(r)+v(r)g(r)=(f(r),g(r))",得到(f(r),g(r))"=(f(r)g"(r)).18.设f(r），g（α）为两个非零多项式，证明：存在自然数N，使nn>N有(f"i(α),g(r))=(f2(r),g(r)).证明：(1）若（f(r），g（r））=1,取N=1即可；(2）若(f(r），g(x))=d(r)≠1,令f(r)=d(r)fi(a),g(r)=d(r)f2(r),d(r）=p(r)p(r）（d(r)的典型分解式）故g()=pi(r)p(r)g(r),(p()gi(r))=l,f()=ph().()f(),(p(),f(r))=1,i=1,2,",s.设N=max(ki,",k),(fN(r)g(r))=ph(r).pt(α),ni,nz>N时,((r),g())=(f2(),g())=p()."p()19.如果既约分数%是整系数多项式f(r)=anr"++ar+ao的根，证明：对任意的整数k，有pk-qlf(k).证明：由条件得到.16