f(r)=q(r)(a-),故 pf(r)=q(r)(pr-q),力pr-q为本原多项式，又pf(r)为整系数多项式，从而q(z)为整系数多项式，而pf(k)=g(k)(pkg).pk-glpf(k),又(kq)=1,故pkqlf().20.设f(）=ao"+air-1++aa-1r十a为整系数多项式，证明：若aoa为奇数，且f（1)及f（一1)中至少有一个为奇数，则fr）没有有理根证明：设f(α)有有理根%,(p,)=1,则P(r)=(r-)q(r),plao;qlanPpf(r)=(prq)q(r),pr-qlpf()而p-glf(1)，一p-glf（-1)，由条件ao.a均为奇数，故pg为奇数，而p十9：p一g为偶数，这样f（1），f（-1）均为偶数，矛盾21.设f(x)是个整系数多项式，证明：如果存在一个偶数a及一个奇数b,使f(a)与f(b)都是奇数，则f(r)没有整数根证明：设有整数根β则f(x)=(x-β)q(r),g()为整系数多项式，f(a)=（a-β)g(α），a—βf(α)，同样bβf(b)，由条件得a一β及b-β均为奇数，因而(a-β)-(bβ)=a-b为偶数，与α为偶数，6为奇数，矛盾22.设有整系数多项式f（x）="+a1"-1十.十a-1r十am证明：若n为偶数，而a1，az，…，a均为奇数，则f（r）没有有理根证明：f(1）=1+a十十an，因n为偶数，又ai，，an均为奇数，故f（1）为奇数，又f(0）=a为奇数，由上题21得f（r）没有整数根，若f（z）有有理根，因其首项系数为1，故一定为整数根，.17
矛盾.23.设整系数多项式f(r)对无限多个整数z，的值均为素数，证明：f（z）在有理数域上不可约证明：反证法，设f（）可约，则f(r)=g(r)h(r),这里g()，h(r)均为整系数多项式，有f()=g()h()f(2)=g(12)h(12)f(r)=g(r)h(n)：因为f（r)为素数，故g（r）或h（r;)中必有一个为1或一1，因而存在,，，使h（）=1或—1与g（）=1或—1,不妨设h(ri,)=1(—1),j=1,2,",n,",因而h（）=1（—1），矛盾24.设n(≥1)次整系数多项式f(r）在多于n个r（整数）处取值为1或一1，求证：f(r)在有理数域上不可约证明：反证法，设f()可约，则f(r)g(r)h(r),其中0<a(g(r))<a(f(r)),0<a(h(r))<a(f(r)),且a(f(x)),a(h(r))中有一个次数≤,不妨设2a(h(r))≤令f(x)=,(e=1或—1),i=1,2,."，n+1,即f(r)=g(r)h(r)=E,因而h（x）=1或—1,i=1,2.…，n+1，这样存在x，，,使h(z,)=1(—1),j=1,2,,k,而k>号,故h(z)=1(-1),矛盾,2.18
f(r)不可约25.证明：不存在次数>0的整系数多项式f（z），对z取任何整数其值均为素数。证明：反证法，设f(r)-anr"+...+ar+ao,为整系数多项式而满足条件，因而f()=ao=p,kp,则f(kp)=a(kp)"+.…+ai(kp)+p=g.故plqq为素数，这样q=p或一p，因而存在无限多个ki，"，km,，使f(kip)=p(-p),而kp≠kpii故f（r)=常数，矛盾26.设（r），g（r）,h（r）均为实系数多项式，证明：若有fr(r)=rg(α)+rh(r),则f(x)=g(r)=h()=0.证明：若f(x）o，则f(x)次数为偶次的，而g(）,h（r)中至少有-个非零，设g(r)≠0且a(g(r))≥a(h())(h(r）≠0),则等式左端为偶次而右端为奇次，矛盾，若h（）=0则同样矛盾，故f(r）=0,即有xg2()十rh(r)=0,故g(r)+h2()=0,g()0时h()必不为0,设a(g())≥a(h())，由于g()，h（r）为实系数多项式则g2（r）+h（r）0，矛盾，因而g(r)=h(r)=027.设a为一个实数，证明：多项式f(r)=r"+ar"-1+..+a"-lr+a最多有一个实根（重根算一个）证明：若a=0得证，设a≠0，则f(r)=a"[()"+()"}++()+1).19
)[1+(二)+.+1(1故1-(二)+I=a-"(1-三)f(μ),工）+1中实根至多有两个，又工=a不为f（α）的根，因而而 1-fr)中实根至多有一个28.设实系数多项式f(z)的首项系数ao>0，且无实根，证明：存在实系数多项式g(r)和h()使f(r)=g(r）+h2(z)证明：设f(r)=aox"+ar"-l+..+an-r+an,若a(f())=0，则结论成立，下设a(f(α))>0，由条件可得到f(r)=a(ra)(ra)...(r-am)(r-a)其中α为复数，α表示α的共钜，我们可设(r-a)...(r-am)=qr)+ih,(r),这里r），h(z）为实系数多项式，故(-a)(-α)...(-am)=)-ih(),故f()=aop()+ih())ih()=ao(g ()+h())=(Vao())2+(aohi(r)2设g(r)=ao(),h(α)=aghi(),可得到证明29.证明：（f(r）,g(z))=1充要条件(f(r"），g(z"))=1，这里m为自然数，证明：必要性.由(f(x),g(a))=1,故存在u(r）,u()使u(r)f(r)+v(r)g(r)=l,u(")f(r")+v(")g(")=1,: 20 :
(f(r").g("))=1.充分性.设（f(r），g(a)）=d(r)≠1，有f(r)=d(r)fi(r),g(r)=d(r)gi(r)故f(")=d(")f("）,g(r")=d(1")gi("）d(r")lf(r"),d(r")/g(r"),矛盾、因而结论成立。30.设P为数域，如果p(r），，p(）为P上两两不同的不可约多项式，证明：f()=()."()在复数域上无重根，证明：电条件(p(r),p,(r))=1,ij因而p()与()无公根，又(）不可约，故（p(）,p（))=1，在复数域上仍成立，故（r）在复数域上无重根，因而f（）在复数域上也无重根，31.设f(r）为n次复系数多项式，且f(0)=0，令g(r)=rf(r),若f（r）lg（r），则g(r）有n+1重零根证明：f（）=0，则结论成立，下设f（）≠0，因为g(r)=rf(r),故g(r)=f(r)十rf()，由f（)lg(r）,得f（r）lf(r），故f(r)ao(r一a)"，ao≠o又f(0)=ao(-a)"=0,故a=0，f(r）=aor"g(r）=aor+，g(r）有n十1重根32.若（sn+1）=1则f（）="+-1+++1可被g(x)=r"+r"-1+...++1整除证明：(—1)f(α)=《+1)—1,(—1)g()=+1-1,设α是g(α）的根，有α+1=1，故（α-1)f(α）=0，但α≠1，若不然因为（s,n+1）=1，3u，，使us+v(n+1）=1，故α=1，但1不是g（α）: 21 :