引理2设非零的整系数多项式f（r）在有理数域Q上可约，则f(r）必能分解为两个次数较f(r）低的整系数多项式的乘积定理5.1（Eisenstein）设整系数多项式f（r）=an+a-1"-+.…+a+aoa≠0,n≥1)，如果存在素数p使得pa=0,1，2，"，n-1），pan，且p2ao，则f（）在有理数域不可约86复、实系数多项式代数基本定理任何次数不小于1的复系数多项式必有一个复数根可将代数基本定理改述为：任何次数不小于1的复系数多项式必有一个一次因式r一c(c为复数）由此可知，对于复系数多项式，仅一次式是不可约的，因而，其分解定理如下：定理6.1任何n(n≥1)次复系数多项式f(r）必有惟一的标准分解式f(r)=aII(r-c,)",-1其中au是f（r）的首项系数，c,(i=1，2，，l)为互异复数，ri=1.2，...)为正整数推论任何n(n≥1)次复系数多项式恰有n个复根定理6.2任何n（n≥1)次实系数多项式必有惟一的标准分解式f()=ar-c).(+p+q)其中an是f()的首项系数，c,(i=12，…,s)及p,q,(j=1,2,，t)都是实数，r(i=1，2，，s)及l,(j=1，2，，t)都是正整数，且r十p十9不可约，即.7
p-4q,<0(j=1,2,,t)推论对于实系数多项式，仅一次式及形如+十q而p2一4g<0的二次式不可约问题探讨1.证明：多项式f()=(50-2+8...+r2-r+1)(150+9++..+r2十+1)无奇数次项，即奇数次项的系数为0.证明：由条件f（）=f（一），故无奇数次项2.设f(r）为多项式，则f(r)=kr的充要条件为f(a十b)=f(a)+f(b),a,b成立证明：必要性显然，下面来证明充分性，事实上，由条件f(2r)=f(r+r)=2f(r),设f(r)=anr"+.+ar+ao而f(2)=2"a"+2-la-1*-1+..+2ajr+ao=2(a.r"+...+aj+ao),≥2时，由2a,=2a,得a,=0，又ao=2ao，所以ao=0，从而f()=a即()成立3.证明：f（）=（8元-6+4-7)（2-3）的展开式中各项系数之和为1证明：f（t）的各项系数之和为f（1），而f(1)=(-1)3(-1)=1.4.设用f(）（≠0)除g（α）（半0)所得的商式及余式分别为g(r)及r(r),任取h(r)(≠0),问(1）用f(r)h(r)除g(r)h(r)所得的商式及余式是多少？.8
（2）用f（r）除cg（r）（c≠0)所得的商式及余式是多少？解：（1）由条件g(α)=f(r)g(r)+r(r),设h()g(r)=h(r)f(r)qi(r)+r(r),这里r(r)为h()f()除h(a)g(）的余式，g(）为商式，故有h(）iri(r），令ri(r)=h(r)q(r),若ri(r)=o,则g(r)=f(r)g(x),故f()lg(),得r(r)=0,若r()≠o,则a(r())<a(h(r)f())=a(h())+a(f(r)),又a(r())=a(h())+a(()),故a(p())<a(f())由h()g()=h()f()g()+h()p(),因为h()0,故g()=f()g()+),得g(α)=gi(),r(r)=(r),r(r)=h(r)r(r),因而h(r)f()除h(r)g(r)的商式为g(),余式为h(r)r(r).(2)由g(r)=f(r)q(r)+r(r),故cg()=f(r)cq()+cr(),f(a)除cg()的商式为cg(r），余式为cr(r)5.证明：对任意的非负整数n，均有++1+2+（+1)2+1证明：设α是++1的根，即α+α+1=0，Q++2+(α+1)2+1=d? . α+(a+1)2+1(α+1)α+(α+1)2+1=(α+1)[-d+(α+1)2）=(α+1)E-α"+(α+2a+1)(α+1)(-α+α)=0故α为*+2+（+12+1的根，由于++1无重根，因而2.9
+r+1/+*+2+(r+1)2+16.证明：g(）=1++*+.+r2能整除f()=1+r++十r"的充要条件是n为偶数证明：由条件(1—r2)g(α)=1-(12)+l,(1r")f(r)=1-(r)+1充分性.设n为偶数，1-(*)*+1=1-(2(#+1)2=(1+±2(#+1)(1—±2+1),故(1-)g()/(1—*)f(r),g()/(1+2)f(),我们断定（g（）,1+2）=1，若不然，设α为1+2与g（）的公根，则g（α）=0,=—1.g(α)=1+α+(α)2+.+(α)",由于n为偶数，故g(α)0，矛盾，由（g（），1十）=1.g（）f(r).必要性.由条件g(r)=12(n+n)()+1-121-4设f()=g(a)g(r),即1—74(#+1)132(+1)1-22-g(r),1-r4(1+r2(#+1))(1—2(n+1))132(n+1)1-12-g(r),(1-)(1+)q()=1+22+1)1++?由于g()为多项式，故1+2/1+2(a+1)若n=2m+1，即1+211+r（m+1)，1+r2=0的根为i或—i，有1+i4（+1)=1+1#+1=2=0,矛盾.由上得n为偶数，.10
7.设f()=1+r+r2++r"-1,证明：f(r)[(f(r)+r")2-r"证明：设α为f（r）的根，则α一1，而α十1，这时(f(a)+)2-α=1-1=0,f(）的根为(f(r）十r")2一"的根，由于fr）无重根故f(r)/(f()+r")2-"8.设f(r)与g(r）为任意两个非零多项式，且a(g(r))≥1，证明：f(r)=rm(r)g"(r)+...+r(r)g(r)+ro(r)其中ro（r），r(r），"，rm（r)或为0或次数小于g（r），但rm（r）≠0，上述表示惟一，证明：由带余除法f(r)=g(r)qi(r)+ro(r),ro(r)=0或a(ro(r))<a(g(r)),若a(qt(r))≥a(g(r)),则g()=g()q2()+r(),r()为余式f()=g(r)gz(r)+g(r)r(r)+ro(r)::f(r)=rm(r)g"(r)+..+ri(r)g(r)+ro(r),r(r）满足条件，i=0,1,...,m.若还有：f(r)=r,(r)g"(r)++r(α)g(r)+r。(r),不妨设n≥m，由上得到g（a）lr。r）一ro（r），故r。()=r(r),..*,rm()=rm(r),从而n=m9.证明：a-1|r*—1充要条件为dn证明：充分性显然，下证必要性，设n=dg+r,r为余数，若r十o，则r<d，这时.11: