fi(r)+f(r)+...+f.-()+f.(r)=(f(r)+f()+..+f.-(r))+f.(r).这里n≥3.二、乘法定义Vf(r),g()EP[r],设Yat',f(r) =g(1)hd令h(r)=(ab+ar-b++aob,)r,a=o(k>n),bo=0(l>m),显然h(r）EP[],称h(r）为f(r）与g(r)的积，记为(Zab,)rf(r)g(r)=不难验证对于多项式的乘法具有以下性质：(i) f(r)g(r)=g(r)f(r);(ii)(f(r)g(r))h(r)=f(r)(g()h(r)):(il)(f(r)+g(r))h(r)=f(r)h(r)+g(r)h(r);(iv）若f（r），g（r)EP[.且全不为零，则f(r)g(r)0,从而若f()h）=g()h(），且h()0,则f(r)=g(r).三、次数定义f(a)EP[α]，f()≠0,称f(r)中不为"o"的项的最高次数为该多项式的次数，记为a(f(r))或a(f(r))或degf(r),零多项式没有次数下面各式中出现的多项式均为非零多项式，如下性质成立：(i)(f()±g(r))≤max((f(r)),a(g(r)));(ii)(f(r) .g(r))=(f())+a(g(α))..2
$2多项式的整除性一、整除及其性质定义设(）g()EP,若g)E[],使得f(r)=g(r)g(r),称g（r)能整除f(r），记为g(r）lf(z），否则称g（r)不能整除f(r),记为g(r)f(a)有下列性质：（i）任一多项式可整除零多项式：(ii）c、cf(r)均能整除f(r）,这里c为非零常数：(ii)若f(r)lg(r),g(z)h(r),则f(a)/h(r);(iv）若f(r)|g(r)(i=1.2,."*,s),则Vu(r)EP[rJ(i=1,2,",s),有f（r）u(r)g(r);ial(V)f()Ig(),且g(α)f(x)f()=cg(),c≠0,cEP.二、带余除法定理2.1设f(r)EP[],则对g(r)EP[].g(r)≠03g(),r()使得f()=g(r)g(r）十r(),其中r(）=0或者(r(r))<(g(r)),且这样的g(a),r()由f(r)，g()惟一确定，分别称为商式与余式。推论设f(r).g()EP[],g()≠,则g()lf()r(r)=0..3:
83多项式的最大公因式一、最大公因式定义设f(r)，g(r)EPLr,若有(i)d(r)为f(r)与g(a)的公因式(ii）f(r)与g(r)的任个公因式都能整除d()，称d(r)为f(r）.g（r）的最大公因式定理3.1Vf(r)g(r)EPJ,必存在f()与g(r)的最大公因式d(r）EPrl，且有u（r），v(r)EP[r,使得u(r)f(r)+u(r)g(r)+d(r)由最大公因式的定义可知，若di（），dz(a）同时为f（r），g（）的最大公因式时，则d（）d（），d（）ld,（），故有d（）二cdzx），c0，这表明，两个多项式的最大公因式之间最多相差一个非零常数因子，f（），g（r）不全为零时，其最大公因式非零，我们把其中首项系数为1（简称首1)的最大公因式记为（fg）对于P[z中m（m≥2)个多项式f（r），fz(r），，fm（r）)的最大公因式，我们完全可以像两个多项式的最大公因式那样去定义，并且可以得到同样的存在“惟一”性定理及表达定理.具体去求m个多项式的最大公因式，固然可以用辗转相除法，但是计算繁杂，我们将在第三章$2中介绍利用矩阵及矩阵初等变换求最大公因式的简便方法，二、互素及其有关性质定义设f(x)，g(r)EP[r],若(f.g)=1,称f(α)与g()互素.定理3.2f(r)，g()EP[a,则(f,g)=13u(r）,u(r)EPL],使.4
u(r)f(r)+u()g(r)=1l.推论1若f(r)=f(r)(f，g）.g(r)=gi()(f,g),则(f1.gl)=1.推论2若（g1,f)=1（g2,f)=1,则(g1g2,f)=1.推论3若f(r）/g1(r)g2(),且（f.g)=1,则f(r)/g2(r).推论4若f,(r）g(),f(r）g()且（fifz)=1,则fi(r)fz(r)/g(r)84多项式的分解一、不可约多项式及其性质定义设(）EP[且(())≥l,如果(）不能分解为P[]中两个次数比p()低的多项式之积，称p(r)在P上不可约，否则称p(）在P上可约命题1设()E[],(())≥则()不可约）只有形如c与c）的因式，这里0cEP命题2若p()为P上的不可约多项式，则f(）EP[]，或者plf或者（p，f)=l命题3若p(r)为P上的不可约多项式，则对f(),g()EP[)只要pfg，就必有plf或plg，命题3若（）为P上的不可约多项式，p(r)lfi(r).f,(r),s≥2,则 ip()lf()(1≤<s).二、分解定理定理4.1设f()EP[且(f())≥1,则:5
(i）f(r)必可分解为P上的有限个不可约多项式的乘积；(ii）如果f(r)=p(r)p()."p,(r)=qi(r)q2(x).q(r)其中p（),q(）i=1,2，，s，j=1,2，,t)为P上的不可约多项式，则s=t且适当调整因式的次序后有p(r)=cqi(r),i=1,2,",s,其中c(i=1,2,，s)为P的非零常数设f()EP[l,a(f(r))≥l,若(1)f(r)=cpi(r)."pp(r)这里c0,p()为首1的不可约多项式，j时p(r)p,()(i,j一1,2，，s），称（1)式为f（)的标准分解式三、重因式定义定义(）为P上的不可约多项式满足p(）lf(r）而p++1()f(）)称p()为fr)的k重因式（这里k为非负整数）当k=0时，p()不为f(r)的因式，当k=1时，称p(r)为f()的单因式，当k>1时，称p(r)为f()的重因式定理4.2若不可约多项式p(z）是f(r）的k重因式（k≥1)，则p(r)是f(r)的(k一1)重因式推论1不可约多项式p(r)是f(r)的重因式台p(r)为f(r）与于（)的公因式推论2f(r)无重因式(f(r)f（r))=185有理系数多项式定义设f(r）为整系数多项式，如果fr)的各项系数的最大公因数是1，称f（）为本原多项式引理1两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.6