g(x)3 0, 则存(ii)若函数g在[a,bl 上单调增，程hi [a, bl, 使 0 f(x)g(x)dx= g(b) f(x)dx.,证 这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下(1) 茬意分割 T: a=x<x,<x<x,=b,nh1-0f(x)g(x)dr-a 0Q f(x)g(x)dx""ai=1+Q. (x)I g(x)- g(x.1)]dx2i-1a g(xi-)o* f(x)dx =11+ 12.i-1(2) 因/ f(x)/ L, xI [a,bl, 故后页巡回前页
前页 后页 返回 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下 五步: (1) 对任意分割 T：
0" f(x)I g(x)- g(xi.-)ldx[1. /=1a* 1 f(x)/μg(x)- g(x.1)ldxt La wjAx.i=i=1因g可积,故 sT:a=x,<x,<xx<x,=b,使a wiax,<=p lllte.i=1(3) 设 F(x)-0 f(t)dt, 则I, =a g(x.)[F(x,)- F(xi.))i-1g(x)[F(x)- F(x,)1 + xo+ g(xn-)[F(x)- F(xn-))后页巡回前页
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= F(x )[g(x))- g(x))I+ xo+ F(xn-)Ig(xn-2)- g(xn-1)I+ F(xn)g(xn-1)n- 1a F(x)lg(x-)- g(x )I+ F(b)g(xn-)i-l由对 g的假设, g(xn-1)3 0, g(x.1)-g(x,)2 0. 记m = min ( F(x)}, M = max ( F(x)),xi (a,b)xi (a,b)n-1则 I, f Ma Ig(x:1)- g(x,)I+ Mg(x-1) =Mg(a),i-1n-1I, 3 ma Ig(x,.)- g(x)I+mg(x.) =mg(a),i-1后页巡回前页
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于是 mg(a) I, Mg(a)(4) 综合 (2), (3), 得到mg(a)- e f I +I, f Mg(a)+e.令e ? 0, 便得 mg(a)f I f Mg(a)(5)若 g(a)=0,则 1- f(x)g(x)dx=0, 此时任取xi [a, bl, 满足 0 f(x)g(x)dx-g(a)o f(x)dx若g(a)>0, 则 m ft M. 由 F(x)-0 f(t)dig(a)后页巡回前页
前页 后页 返回 (4) 综合 (2), (3), 得到
的连续性，存在xi[a,bl,使F(r)-0 f(t)dt=-g(a) f(x)g(x)dx= g(a)g r(x)dx.即推论 设 f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,则存在x1[a,b],使0 f(x)g(x)dx= g(a)0 (x)dx + g(b)0 r(x)dx.后页巡回前页
前页 后页 返回 推论 即