A+2E=PAP+P(2E)P P(A+2E)P =P‖A+2E‖P1 =Λ+2E 2+2 22+2 2n+2 =(2+2)(2+2)…(2+2)>2
1 1 1 1 1 2 1 2 | 2 | | (2 ) | | ( 2 ) | | || 2 || | | 2 | 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2) 2 . A E P P P E P P E P P E P E − − − − + = + = + = + = + + + = + = + + + n n n
例6设A为mxn矩阵，E是n阶 单位矩阵，已知矩阵B=入E+A”A, 试证当2>0时，B为正定矩阵 证因为BT=(2E+AA)=(EI+(AA) =AE+A(A)=AE+AA=B 所以B为对称矩阵 对任意n维实向量x,有 xBx=x(AE+AA)x=xAEx+xAAx =Ax"x+(Ax)"(Ax)=x+Ax 若x≠0，则有 x>0,4x≥0，所以当2>0时， xBx>0 故 B为正定矩阵
所以B为对称矩阵. 6 , 0 . T A E B E A A B = + 例 设 为 矩阵， 是 阶 单位矩阵，已知矩阵 试证 当 时， 为正定矩阵 m n n T T T T T T 证 因为 B E A A E A A = + = + ( ) ( ) ( ) T T T T = + = + = E A A E A A B ( ) T T T T T T n x x Bx x E A A x x Ex x A Ax = + = + 对任意 维实向量 ，有 ( ) T T 2 2 = + = + x x Ax Ax x Ax ( ) ( ) T 0 0 0 0 0 . x x Ax x Bx B 若 则有 ， 所以当 时， 故 为正定矩阵 , ,