的一个上界V>0, 由于 M,=sup(f(x)| x e[xi-1,x;]), 因此35, e[x,-1,x,l, 使8f(5.) > M, b-a于是Ef(5,)Ax,>E(M,---)Ar,h0i=1i-1"iZAx, = S(T)-8.M,Ar;b-ai2后页返回前页
前页 后页 返回 = 0, sup ( ) [ , ] , 由于 因此 M f x x x x i i i −1 1 [ , ], i i i x x − 使 于是 = = − − n i i i n i i i x b a f x M 1 1 ( ) ( ) = − = = − n i i n i i i x b a M x 1 1 = S(T) − . ( ) . i i f M b a − − 的一个上界
所以证得Zf(5)Ax, 5, e[x-,x,,i -1,2,,nS(T) =supi-1类似可证：Ef(5,)Ax,5, e[xi-x,,i=-1,2,.,ns(T) =infi=1返回前页后页
前页 后页 返回 类似可证 : 所以证得 1 1 ( ) sup ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i S T f x x x i n − = = = 1 1 ( ) inf ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i s T f x x x i n − = = =
性质2设T为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则S(T)≥S(T) ≥S(T)-(M -m)p IT Ils(T)≤s(T)≤s(T)+(M-m)p / T Il证为方便起见，记T=T，T为添加i个新分点后所得到的分割,T'=T,设T中新加入的那个分点落在T的某小区间△，内，它把△，分为两小区间，记为,与".此时后页返回前页
前页 后页 返回 S T S T S T M m p T ( ) ( ) ( ) ( ) || ||, − − s T s T s T M m p T ( ) ( ) ( ) ( ) || || . + − 设 T T 1 中新加入的那个分点落在 的某小区间Δk , Δ , Δ Δ . 内 它把 k k k 分为两小区间 记为 与 此时 的分割 则, , . 所得到的分割 T' T= p 性质2 设 为分割 添加 个新分点后所得到 T' T p 0 , , 证 为方便起见 记 为添加 个新分点后 T T T i = i
S(T.)-S(T))Zm,Ax, -(Em,Ax, +M,Ar, + M(Ar)i-1i+k= M (Ark + Ar') -(M'Ax' + M'Ark)=(Mk - M')Ar' +(Mk- Mi)Ar"由于m≤M(或M)≤M≤M,故有0 ≤S(T) - S(T)≤(M - m)Ax, ≤(M -m)II T Il 后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 S T S T ( ) ( ) − 1 Δ ( Δ Δ Δ ) n i i i i k k k k i i k M x M x M x M x = = − + + (Δ Δ ) ( Δ Δ ) M x x M x M x k k k k k k k = + − + ( )Δ ( )Δ . M M x M M x k k k k k k = − + − 由于 ( ) , m M M M M k k k 或 故有 0 1 0 ( ) ( ) ( )Δ ( ) || || . − − − S T S T M m x M m T k