02OOAA导数的定义f'(x.) = lim /(co +An)- /(xo)注ArAr-→>001(2.1)式中自变量增量△x也常用h来表示，记作：f(x。 +h)-f(x)f(x)= lim =hh-002(2.1)式中,令x=x。+△x则有:f(x)- f(x)f'(x)= limX-→>Xox-x。Ay03 若f(x)= lim00,则称函数y=f(x)在点xo处Ar→0△x导数为无穷大，但仍表示函数y=f(x）在xo处不可导
注 01 (2.1)式中自变量增量x也常用h来表示, 记作: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h 11 02 (2.1)式中, 令 , 则有: 0 x x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x 03 若 ( 0 ) li x m 0 , 则称函数y f (x)在点x0处 y f x x 导数为无穷大, 但仍表示函数 y f (x) 在x0处不可导. 02 导数的定义 0 f (x ) 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x
02OOAA导数的定义若函数y=f(x)在(a,b)内每一点都可导,则称定义2.2函数y=f(x)在(a,b)内可导,此时对区间内的任一点x都对应着f(x)的一个确定的导数值,确定了一个函数关系这个函数关系，称为函数f(x）的导函数（简称导数）f(x)，y,dy记作：dx dxf(x+△x)- f(x)即f'(x)= limAr->0Axf(x+h)- f(x)或f'(x)= limhh-→0
定义2.2 12 函数 y f (x) 在(a,b)内可导, 对应着 f (x) 的一个确定的导数值, 这个函数关系, 称为函数 f (x) 的导函数(简称导数). 若函数 y f (x) 在 (a,b)内每一点都可导, d d ( ) d d f y f x y x x 记作: ， ， ， ， 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 即 , 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h 或 . 此时对区间内的任一点x都 则称 确定了一个函数关系, 02 导数的定义
02OOAA导数的定义例已知f(x）=A，求下列极限：f(x。-△x)-f(x) .xf(x)-xf(x)(2) lim =(1)lim→1Ax-→0X-X。Ara(1)令 Ax=-t，得0解f(x -Ax)- f(x.)-- limf(x +t)- f(x)limAr→>0t→>0Axt=-f'(x)=-A
(1) 令 x t，得 13 例 1 解 02 导数的定义 已知 f (x0 ) A，求下列极限： 0 0 0 ( ) ( ) (1)lim ; x f x x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) (2)lim . x x x f x x f x x x 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x t f x x f x f x t f x x t 0 f (x ) A
02OOA0导数的定义例已知f(x）=A，求下列极限：(x,-4n)-(x) ; (2)im=()-x(x)*(1)limAx-→0[→XArx-Xoa心解(2)xf(x)-xf(x)x[f(x)- f(x))+(x。-x)f(x)lim1x→3eX→x0x-Xox-x=x.A-f(x).14
(2) 14 例 1 求下列极限： 解 02 导数的定义 已知 f (x0 ) A， 0 0 0 ( ) ( ) (1)lim ; x f x x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) (2)lim . x x x f x x f x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) lim lim . x x x x x f x x f x x f x f x x x f x x x x x 0 0 x A f (x )
02OOAA导数的定义求函数f(x)=C的导数(其中C为常数)例2心解根据导数定义CCf(x +△x)- f(x)f'(x)= lim0limAr->0AxAxAr-→>0即 C'=0
即 C 0 . 15 例 2 根据导数定义, 求函数 f (x) C 的导数(其中C 为常数). 解 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 0 lim 0 x C C x 02 导数的定义