《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第1讲 导数的概念

02OO0导数的定义3例求函数f(x)=x"（neN)在点x=a处的导数o解根据导数定义f(x)-f(a)x"-a"f'(a)= limlimx-→>ax>ax-ax-a(x -a)(x"- + ax"- +... +a"-l)=limr→ax-a= lim(x"-I + ax"- +... + a"") = na"-1= nx"-i16

16 根据导数定义, 例 3 解 ( ) ( ) ( ) l x im a f x f a f a x a      02 导数的定义 ( ) ( N ) n f x x n  求函数   在点 x  a 处的导数. lim n n x a x a x a     1 2 1 ( )( ) lim n n n x a x a x ax a x a            1 2 1 lim( ) n n n x a x ax a        1 . n na      1  n n x nx

02OOA0导数的定义求函数f(x)=/x(x>0)的导数例?o解根据导数定义，使用分子有理化得Vx+Ax-/xf(x+△x)- f(x)f'(x)= limlimAr->0AxAxAx-→0Axlim-Ax->0△x(Vx+△x +/x)11= lim2/xAx->0x+△x +11X即(/x2/x

17 求函数 f (x)  x (x  0) 的导数. 根据导数定义, 使用分子有理化得   1 2 x x  即  . 例 4 0 lim ( ) x x x x x x         解 0 ( ) ( ) ( ) li x m f x x f x f x x         0 lim x x x x   x      0 2 1 1 lim x x x x x        02 导数的定义

02OOAA导数的定义例求函数f(x)=x的导数7R口解根据导数定义，得(x+Ax)3 - x3f(x +△x)- f(x)limf'(x)= limAr-→>0Ar->0AxAx= lim[3x2 + 3x△x + (Ax)]= 3x2,即(x)= 3x可推出幂函数的导数(x") =ux- (ueR)18

18 例 5 3 求函数 f (x)  x 的导数. 根据导数定义, 得   2 2 0 lim[3 3 ] x x x x x        3 2 即(x )  3x . 可推出幂函数的导数:   1 x x       ( R). 解 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         3 3 0 ( ) lim x x x x   x      2  3x , 02 导数的定义