华师大数学分析(第五版)讲义第二章数列极限证明limz,=a.证因limx,=limy,=a，故对任给的>0，数列(x,)和(y)中落在U(a,8)之外的项都至多只有有限个所以数列（，中落在U(a,6)之外的项也至多只有有限个故由定义2证得limz，=a.【注】上面例题是以后常用的结论。下面用子列的概念改写成定理。定理对于数列(a,)，如果它的奇子列与偶子列都收敛于同一个数α，则a,)也收敛于a。即如果lima2,=lima2m-1=a，则lima,=a。例11设(a,)为给定的数列，{b,}为对(a,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列(b,)与{α,}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等证设(a,)为收敛数列，且lima,=α，按定义2，对任给的ε>0，数列(a,}中落在U(a,ε)之外的项至多只有有限个。而数列(b,)是对(a,)增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，(b,}中的每一项都是(a,}中确定的一项，所以(b,)中落在U(a,)之外的项也至多只有有限个．这就证得limb，=a.设(α,)发散.倘若(b,)收敛，则因(α,}可看成是对(b,)增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{α,}收敛，矛盾．所以当(α,)发散时，(b,}也发散。三、无穷小与无穷大，有界与无界在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义3(1）若lima，=0，则称(a,)为无穷小数列（2）VG>0,3NeN+，当n>N时，有a,>G，则称(a)为正无穷大数列，记作lima,=+o0。（3）类似可定义：lima，=-006中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 证明 n az .limn 证 因lim lim n n n n x y a ，故对任给的 0 ，数列 xn }{ 和{ yn }中落在 U( , ) a 之外 的项都至多只有有限个. 所以数列 中落在 }{ n z U( , a ) 之外的项也至多只有有限个．故由定 义 2 证得 ．azn lim n 【注】上面例题是以后常用的结论。下面用子列的概念改写成定理。 定理 对于数列an ，如果它的奇子列与偶子列都收敛于同一个数 ，则 a an 也收敛 于 。即如果 a 2n li ，则 n n a 2 1 lim m n a a lim n n a a 。 例 11 设 为给定的数列， 为对 增加、减少或改变有限项之后得到的数 列．证明：数列 与 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等． }{an }{bn }{bn }{an }{an 证 设 为收敛数列，且 }{an n aa n lim ．按定义 2，对任给的 >0，数列 中落在 U( }{an a; )之外的项至多只有有限个．而数列 是对 增加、减少或改变有限项之后得到 的，故从某一项开始， 中的每一项都是 中确定的一项，所以 中落在 } }n {bn {a }{an }{bn } bn { U(a, ) 之 外的项也至多只有有限个．这就证得 bn a n lim ． 设 发散．倘若{ 收敛，则因{ a 看成是对{b 加、减少或改变有限项之后 得到的数列，故由刚才所证，{a 敛，矛盾．所以当{a 散时，{bn 发散． }{an } bn }n 可 增 收 发 也 }n }n }n } 三、无穷小与无穷大，有界与无界 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义 3 （1）若 0lim n n a ，则称 为 an }{ 无穷小数列． （2） 当 时, 有 ，则称 为正无穷大数列，记作 。 G NN 0, , n N n a G }{an lim n n a （3）类似可定义： lim n n a 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限（4）类似可定义：lima，=00。定义4如果(a,）有界（同函数有界），即EM>0，VnEN，都有a,≤M则称(a,}是有界数列。类似可定义：无界数列，有上界，无上界等。下面列几个显然成立的结论（作为习题）：(1)lima,=a(a,-a为无穷小数列.1(2)是无穷大。(a,)(a,0)为无穷小[an](3)lima,=+o=(a)无上界，但反之不然。(4)无穷小数列与有界数列的乘积仍是无穷小数列。最后再举几个例题，这些例题都是以后常用的结论。例12lima,=a=liman=al。反之不然。证设lima,=a，据定义>0,N，当n>N时，有,-a从而a,|-a≤a-a，即lima,=al。反之，设（a：1,-1,1,-1,。显然lima|=1，但{a)发散。【注】 lima, =0 lim|a,|=0。例13 设lim=A(4±0,b,0),如果lima,=0,则imb,=0。limb,[a,limA>0，据定义，对6。=，A>0,N,N,当n>N时，有证由上例，hm[6b.][4-4+4A[b.即14[6,] <1a,]号4[6,]7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 （4）类似可定义： lim n 。 n a 定义 4 如果 有界（同函数有界），即 }{an M 0 ，n N ，都有 n a M 则称{an }是有界数列。 类似可定义：无界数列，有上界，无上界等。 下面列几个显然成立的结论（作为习题）： （1） lim n n a a aa }{ n 为无穷小数列． （2） { } a a n n ( 0) 为无穷小 1 n a 是无穷大。 （3） lim n n a n a 无上界，但反之不然。 （4） 无穷小数列与有界数列的乘积仍是无穷小数列。 最后再举几个例题，这些例题都是以后常用的结论。 例 12 lim lim n n n n aa a a 。反之不然。 证 设 ，据定义 lim n n a a 0, , N N 当 时 n N , 有 n a a ， 从而 n n a a aa ，即 lim n n a a 。 反之，设 :1, 1,1, 1, n a 。显然 lim 1 n n a ，但an 发散。 【注】 lim 0 lim 0 n n n n a a 。 例 13 设lim ( 0, 0) n n n n a AA b b ，如果 lim 0 n n a ，则 lim 0 n n b 。 证 由上例，lim 0 n n n a A b ，据定义，对 0 1 1 0, , 2 A N N 当 时 n N 1 , 有 1 1 2 2 n n a AA A b A 即 1 3 2 2 A n n n b a Ab 中国矿业大学数学学院 7
华师大数学分析（第五版）讲义第二章数列极限再由lima,=0，据定义对V>0,N,N当n>N,时，有a,<。于是，取N=max(N,N,)，则当n>N时，有号[4[6,] <[a, <6 =[6,]<1按定义这就证明了limb,=0。a,+a,+.+an例14设lima,=a，证明：liman证因为lima,=，于是有>0,,n>a-从而当n>N,时，有[(a -a)+(a, -a)+...+(a, -a)a, +a,+...+an2ha-a+a,-a+..+an-aan+-a+an+-a+...+an,-annA.(n-N)A.E2n2n其中A=-a+,-a+.一是一个定数。AA=O，知N,E，当>,时，有再由lim有Lnn取N=max(N,,N)，则当n>N时,有a +a, +...+anA666=8222nn4+a, +a=0.【注】该结论反之不成立。例如a，=(-1)"不收敛，但limn中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第二章数列极限 再由 lim 0 n ，据定义对 n a 2 0, , N N 当 时 n N 2 , 有 n a 。 于是，取 N N max{ , } 1 2 N ，则当 时，有 n N 1 2 Ab a n n 2 n b A 按定义这就证明了 lim 0 n 。 n b 例 14 设lim ,证明: n n a a 1 2 lim n n aa a a n . 证 因为lim n n a a ，于是有 1 1 0, , , 2 N N n Na a n 从而当 时，有 1 n N 1 2 1 2 ( )( ) ( n n aa a aa a a a a a n n ) 11 1 1 1 2 NN N N 1 1 aaa a a a a aa a a a n n 1 ( ) 2 2 A A n N nn n 其中 1 A 1 2 N aaa a a a 是一个定数。 再由 lim 0 n A n ，知 N N 2 ，当 时，有 2 n N 2 A n . 取 ，则当 时,有 N N max( , ) 1 2 N n N 1 2 n aa a a n 222 A n 【注】该结论反之不成立。例如 ( 1)n n a 不收敛，但 1 2 lim 0 n n aa a n 。 中国矿业大学数学学院 8