第二章解线性代数方程组的直接法27 1 Z4=P-1…P-1LP4-1…P-1= m+1 P=Pm-1…P2P 由简单计算知 L:=1…L-L 为单位上三角阵，因此 PA=L1…i,2LU=LU. ◆ 例2.3用Doolittle分解计算下列线性代数方程组 Ax:=b,(i=1,2,3,4), (2-9) 这里 2117 [4 A=232,b=7, b2=x1,b3=x2,b,=x3 234 9 解首先用Doolittle分解对矩阵A进行三角分解： [100]「411213 A=l:1004:e =LU. 121L00」 比较两边系数，得 11=2,412=1,413=1; 41=1,1=1； 22=2,23=1; l32=1; 432=2. 于是
第二章解线性代数方程组的直接法 1 LK=pn I ...p " ， • • • 1 l， l • • • • • • , 1 P=pn 1 . Pl · 由简单计算知 L: =L ... 为单位上三角阵.因此 PA=L~I U = • oo tl 代数方程组 Ax;= (i = 1 , 2 , 3 , 4) , (2-9) 这里 2 1 1 4 A= 12 3 2 , b. = 7 , b2 = Xl , b3 = X 2 , b4 = X 3 • 3 4 9 解首先用 li t t A进行三角分解: -- L U -iz3nu--nnunu-- uuluuu A 比较两边系数，得 U'l=~' U , ., = l . u , ... = l : II - £.J , ~12 .... , -13 ...... , l21 = 1 , l31 = 1 ; U 22 = 2 , U 23 = 1 ; l32 = 1; U32=2. 于是
28第I部分数值分析 1007 2117 L=110, U=021. 111 L002j 可以把方程组(2-9)分解为 (Ly:=b: (2-10) Ux:=yi 对i=1,可以计算出 4 1 2 由b2=x1,可以从式(2-10)计算出 17 y:= 2= o .0 由b=x2,可以从式(2-10)计算出 0 由b,=x3,可以从式(2-10)计算出 2/ L 2 在例2.3中，由于后一方程组的右端依赖于前一方程组的解，对第1个方程组的 计算，三角分解法与Guss消去法的工作量相同，但是，当计算第2,3,4个方程组时， 采用三角分解法仅需回代计算，计算工作量比Gauss消去法大大节省.这是三角分 解法的优点。 例2.4用带行交换的Cholesky分解计算线性代数方程组 Ax=b (2-11) 这里
28 分 数 L= 100 110 111 可以把方程组 )分解为 Ly;=b; , (2-10) UX;= y; 4 yj = 3 ' 171== 1 I , 2 L1 =Xj - 1 l 0.5 , Zz== O I , O L 0 =X2 - 1 计算 I-011 y = 3 Z3=t| I , O 10 3 r 5 1 1 y1= , x...= 16 1-61· ' 8 在例 于后一方程 程组 计算，三角分解法与 s消去法的工作量相同，但是，当计算第 2， 3， 4个方程组时， 采用三角分解法仅需回代计算，计算工作量比 s消去法大大节省.这是三角分 解法的优点. 带行 性代 Ax = b (2-11) 这里
第二章解线性代数方程组的直接法29 1107 A=111, 121 A 解先进行Doolittle分解，设 -101 于是 0 L:PA= 每 1007 010 于是 1107 L2P2A=011=A@=:U L001 即 U=LP,L P A=P2L A=P2L P:P:A. 令 P=P:L=PL P2, 从而 1107 L=P:LP:=1 10 L101 这样，我们得到A的Doolittle分解 PA=LU
第二章解线性代数方程组的直接法 1 l O 2 l 1 , b= 13 I. 2 l L4 先进行 oo li t tl l--nu14nu AUAUTi Ti L -- P 于是 1 1 0 LjPjA= 0 0 1 =A(ll 011 ; : , 1 于是 1 1 0 (l) 0 1 1 =户 o 0 1 BP U=LzPzL jPjA=PzLjA=PzL] P;P2A. P=PZ L-I =PZL1Pi. 从而 110 L=P 1 1 0 101 这样，我们得到 li tl e分解 PA=LU
30第I部分数值分析 由上式，我们可以把方程组(2-11)分解为 (Ly=Pb, Ux=y. 回代计算得到 L4」 L4」 例2.5用Cholesky分解计算线性代数方程组 Ax=b, (2-12) 这里 111117 「51 12 22 2 A- 2 33 3 b= 1 2344 14 2345 15 解首先用Cholesky分解对矩阵A进行三角分解： 2100 0 51 l21l2 0000 l52 A=l31L32l330 0 0l33 6 los =LLT 00 s ls 55L0·000 比较两边系数，得 L1=121=131=1l1=1l31=1 l2=1l2=1l2=14s2=1 L33=1143=1l53=1 l4=1l1=1 455=1 于是
30 部分 值分 由上式，我们可以把方程组 11 )分解为 Ly=Pb , Ux=y. 回代计算得到 2 x= 3 4J 14 k y 分解 程组 Ax = b , 4 ‘ 这里 1 1 l 1 1 5 1 2 2 2 2 9 A= 11 2 3 3 3 , b=1121. 1 2 3 4 4 14 l 2 3 4 5 15 解首先用 y分解对矩阵 A进行三角分解: O O O O 131 111 121 122 O O O O 142 A= 1/3] 133 O O O O 143 153 LL O O O O 151 152 154 155 O O O O 比较两边系数，得 III = 1 l21 =1 l31 = 1 141 = 1 151 = 1 122 = 1 132 = 1 142 = 1 152 =1 133 =1 143 = 1 153 = 1 141 = 1 154 = 1 155 =1 于是 • (2-12)
第二章解线性代数方程组的直接法31 1 00007 11000 L=11100, 11110 11111 可以把方程组(2-12)分解为 [Ly=b, LTx=y. 回代计算得到 51 y 3 x- 1 2 1 §2.3解三对角方程组的追赶法 从有些实际问题导出的线性代数方程组的系数矩阵是三对角的，也即方程组 Ax=d, (2-13) 有形式 d d A- d= dn-1 an 并且，满足条件： 1)c,+0,a,b,￥0(i=2,3,…,n-1),an年0； 2)16,1>1c1,16,1>la,1+lcl(i=2,.n-1),161>la.1. 条件1)表示方程组(2-13)不能降阶，事实上，若α，=0，则方程组(2-13)可以分解为 两个低阶的方程组；条件2)保证了对这个三对角矩阵的三角分解可以进行到底
第二章解线性代数方程组的直接法 1 O O O O l 1 O O O l 1 O 1 l 1 1 O 1 1 1 1 可以把方程组 1 2 )分解为 Ly=b , L T X= y. 回代计算得到 5 1 4 y= 13 , x= 1 • • 2 1 1 1 § 2. 从有些实际问题导出的线性代数方程组的系数矩阵是三对角的，也即方程组 有形式 Ax = d , bl CI XI dl a 2 b2 C2 X 2 d2 A=I • • • • d= • • • • x= • • • • • , • , • an-I b n _ 1 Cn- I X n- 1 an b X n dn (2-13) 并且，满足条件 1) Z) Ibll>lcll (i 2， Ib.l > Iα I. 条件1)表示方程组 实上 程组 13 分解 两个低阶的方程组;条件 对这 三对 进行