§2.1复变函数的积分 定义 1.f(2)有定义 f(c d2=m∑f(5Ak max A=x -Uk=1 f(x)一被积函数,1一积分路径 注:凡无重点的曲线为简单曲线或 Jor dan曲线,具有 连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线,由有限条光 滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是 分段光滑曲线
§2.1 复变函数的积分 一、定义 1. f z( ) 有定义 max 0 1 ( ) lim ( ) AB k n k k l z k f z dz f z x D ® = ò = D å f z( ) —被积函数， l —积分路径 注：凡无重点的曲线为简单曲线或Jordan曲线，具有 连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线，由有限条光 滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是 分段光滑曲线
二、存在条件 J(=im∑f()A =stin. A==Ax +iAy 则f()=(5,)+(5,1)=l+mvn ∑++2 ∑uAx-V△)+0+4 Ax O k=1
二、存在条件 ∵ 1 0 ( ) lim ( ) k n k k l n k z f z dz f z z ®¥ = D ® ò = D å 令 , k k k k k k z =x h+i Dz =Dx + Di y 则 ( ) ( , ) ( , ) k k k k k k k f z =u x h +in x h n = + u i [ ] 1 1 0 0 0 1 0 0 lim ( ) lim ( )( ) lim ( ) ( ) k k k k k n n k k k k k k n n k k z x y n k k k k k k k k n k x y f z u i x i y u x y i x u y x n n n ®¥ ®¥ = = ® D ® D ® ®¥ = D ® D ® D = + D + D = D - D + D + D å å å
即 f(a dz=. udx-vdy +il vdx +udy 实积分存在则()存在。 条件(1)1分段光滑; (2)f()在上连续
分段光滑； 即 ( ) l l l f z dz = udx -n n dy + + i dx udy ò ò ò 实积分存在则 l f ( )z dz ò 存在。 条件(1) l (2) f z( ) 在 l 上连续
三、性质 1.∑CM=∑cJ(M k=1 2.若=1+2+… 则!/=∑ 用积分定义证 3. f(ed:=l,f(e)d=
三、性质 1． 1 1 ( ) ( ) n n u k k k l l k k C f z dz C f z dz = = å å= ò ò 2． 若 1 2 n l = l + + l l L 则 1 ( ) ( ) k n l l k f z dz f z dz = ò ò =å 3． ( ) ( ) AB BA l l f z dz = - f z dz ò ò 用积分定义证
4.J//G 或1』/(+)d 用积分定义和 其中的==V+的b2>公式 5. f(z)= sM. S M-上maxf() S-l的长度
4． ( ) ( ) l l f z dz £ × f z dz ò ò ( ) l f z ds 或 ò 其中 2 2 ds = dz = + dx dy 5． ( ) l f z dz £ × M S ò M l max f z( ) S l - - 上 的长度 用积分定义和 公式