第六章多项式矩阵 本章将用多项式矩阵的语言来证明任何复方阵相似于 Jordan矩阵,而且除 Jordan块的次序外, 这个 Jordan矩阵是唯一的 6.1多项式矩阵及其标准形 设P是数域,A是一个文字.P闪为P上A的所有一元多项式的集合以P]中多项式 为元素的矩阵称为多项式矩阵或A矩阵所有m×n 的集合记为P[入m×n.很显然 PAnC p[A×n.如同P上矩阵及§4对7阶多项式方阵一样,可在P[]m×中定义加法, 减法,多项式与矩阵乘法以及P入mⅪ中元素与P]×中元素的乘法同样,一个入-矩阵可用唯 的方式表示为系数为P上矩阵的A的多项式,而且加法与乘法可用§54中(5),(6)的形式表达 对于A(入)∈P[入]×n,行列式,子式,余子式,代数余子式及伴随矩阵概念及绝大部分性质如同 Pn×中方阵相同.例如A(入)A()*=detA()ln,但对于“可逆”要留心一些 定义1设A()∈PDA,若有B()∈P[小使得A()B(入)=In,则称A()可 逆,B(A)为A()的逆矩阵,记为A()-1 定理14()∈P入]n可逆当且仅当detA(A)=d为非零常数,且A(入)有唯的逆矩阵 并且,A(入)-1满足A(X)-1A()=A()A()-1=In 证设B()∈P[],使A(入)B(A)=In,于是 detA()detB(入)=1 故d=detA(入)为非零常数 反之,若d=dtA(X)为非零常数.于是,a4()”∈P小×n,且 A()4(A)=4()(a4()=n 即A(入)可逆,又若A(入B(X)=In,则 A()*=4()*(A()B()=LnB()=B()
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秩的概念是P上矩阵的重要概念.同样在A-矩阵中也是一个重要的概念 定义2A()∈P×n.如果A(入)中有一个T级子式不为零,而所有T+1级子式(如果 有T+1级子式的话)全为零,则称A(入)的秩为T.零矩阵0的秩为0.A(入)的秩记为r(4(入) 或 rank a(入) 若A(X)∈PN]可逆,则r(4(入A)=7 与P上矩阵不同之处是r(A()=7,A(入)不一定可逆.如r(AIn)=m,但AIn不可逆 初等变换与初等矩阵对于P上矩阵的研究有重要作用,对入-矩阵也有重要作用 以下变换称为入-矩阵的初等变换 1.将A(入)的某行(列)乘以非零常数 2.将A()的某行(列)加上另一行(列)的q()倍,这里g2(入)∈P[A 3.将A(入)的两行(列)互换 将单位方阵In经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,于是,有三种类型的初等矩阵 P((c),c∈P,c≠0;P(,j(φ(λ),P(,j) 初等矩阵可逆,逆矩阵仍为初等矩阵 P(i(c)-1=P(i(c-1) P(,j(y()-=P(,j(-(入), P(,j) 若A(X)∈PN]n.用一个m阶初等矩阵左乘A(入,就是将A()进行相应的初等行变换 用一个7阶初等矩阵右乘A(A),就是将A(A)进行相应的初等列变换 定义34(入),B(从)∈P[m×n.如果经过一系列初等变换可将A()化为B(A),则称A(入) 与B(入)等价(相抵).记为A(A)~B(A) 由于初等变换与初等矩阵的关系,我们知A()~B(X)当且仅当存在m阶初等矩阵P1,P2 3及阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt使得 B()=PP2. PsA()Q1Q2. Qt 从这里立即可知等价(相抵)有下列性质 1.反身性:4()~A(入) 2.对称性:A(A)~B(A),则B(入)~A(入) 3.传递性:若A()~B(入),B()~C(入),则A()~C(入) 4.A(入)~B(A),则A(A)元素为B(A)的元素的(多项式)组合;B(A)的元素为A(X)的 元素的组合 5.A(入)~B(A),则r(4(入)=r(B() 我们知道,对于P中矩阵,性质5的逆命题也是对的.但对于入-矩阵却不然了.例如MIn 与In的秩均为7,但它们不等价 为了讨论两个λ-矩阵何时等价,我们可用初等变换将入-矩阵化为比较简单的形式.这种方法我们 在定理3.4.3及定理4.6.2的证明中已经运用过了
'/ 3'/$% < 3'/ #6 789 7 #6 79 =9 9 7 &2 8$ : 8 &2# , 8&2 ;<=>;< >? 3! < 3! ?=> "#$% @+ , " 091 @+ , A+ , @ B C+ , A> BD CD;<=>-E "# E&FG;<F ;<&2 2H;< 7 ;<'" G H+ I;<+=>I ;<J" G H+ I;<,=> #6CD),;<=>& J #( )* K ;<=>;<K) LM+ . /.L ;< ;< 8- MBN5&+<N O ?,0F 4O0F 0F PQ0F7 ,I , LM+R 0 2PQ< , R8"S1# S ,TM8<N SUVC W<N LM&;<=> JTUVB*& LM X X YC-DS
引理2设A()∈P[]n,A()≠0.则有B()∈P[A满足 1)A()~B(A) 2)ent1B(川lent;fB(A,1≤i≤m,1≤j≤ 证因为A()≠0,故经过初等变换可将非零元素换到第1行第1列的位置故不妨设et11A(从)≠ 0.记a(A)=et;jA4(入).若有aj(A)使an1()a(入,此时有三种情形 1)i=1.即a11(|a(A).于是 (A)=a1(A)q1()+71(A),degr1() 作两次列变换:第j列加上第1列的-q1(λ)倍;第j列与第1列互换,得到B1(A)~A(入),且 t11B1(X)=71() 即a11(A)/G1(A).于是 ai1 (A)=a1(A)42(A)+r2(), degr2(A)< deg an1(A) 先将第讠行加上第1行的一g(λ)倍,再将第讠行与第1行互换,得到B2()~A(入),且 B2(入)=72( 3)a11()|a1(),1≤j≤m;a1()|a1(A),1≤i≤m;而有i≠1,j≠1使得 a1(A)和(A.设a21()=a1(刘)q(从).先将第i行加上第1行的-q()倍,再将第1行加 上第讠行,得到矩阵B3(从)~A(A),且 et11B3()=ent11A(入) B3(从)=a1/((1-q()+aj(入) 于是et11B3(A)和It1jB3(入),这是情形1) 总之,可得到A1()∈P[An×n,满足 A()~A1(入), deg(ent1A41(入)<deg(ent1nA() 若A1()满足条件2)则可取B()=A1(入).若不然,重复上面过程可得A2()~A1(A)~A(入), deg(ent 11 A2())< deg(ent11 A1A)) 显然,经有限步后可得满足条件的B(A 定理3设A(A)∈P[A]×n,A(A)≠0.则A(入)与下面形状的矩阵D(入)等价, d1(入) d(入) 194
. : Z 3CD;<=>&09 >EW +W ,D/38X 7 8 YW E&[* 5 !C,=>FW , W , @IW ,W ,A> -E 5 \W + W + @ 0W +W +A> -E 8- \W + W + @ 0W + W + -E [* 1 &-E : 7 :]Z &^ 78" _D[ &- !" C `\]&-:]Z ?_*2 <N
其中T≥1,dB×)足首子式语证(1≤i≤r),项 1政X)dB第),1≤i≤ 证可aMx)=emtM4(x)由引理2,存在B(x∈P冈入xm使余A(x)~B(x),项 b第)x,其中bx)=etB(x).可 刈=磅第x),b第)=磅第B×∈ 项B(×)来第讠行以证第1行来一PBx)倍;第j列以证第1列来一qdX)倍似余到C(×~B(×), 磅第) (×) 其中C第)∈P|-爹将其元素足B(对来元素来组其外多在 第川e址lC第)∈ 若C第)≠0,则可上C第)施行又等变换似心在C(刈)来第2行至第三行似第2列至第§ 列来又等变换似使余 第) c多)0 0 A(× 多) 这里C多∈P冈将一多将多 b第),c川el多)∈ 阵d=b、),d多)=c多,如此继续有限步后可余 d多 A(×) d,(×) B刈B第),1≤i≤r-1∈ 定义4可A(x)∈P对AmnA(x)~D(x).D(x满足有理3中条件外则形D(x)足 )来(等价设元抵)标准形d第),d多),∈d,(x)足A(刈来不变因子 195
a b KcX L 8- a W + W + @IW , W , @ -E a a , 7 & d+;<=> 5 W +3W + W ,3W ,;<=> 8- B Æ #Y^e `\]&- : X ]Z <N O 456 7$89
1-入2入-1 例1用初等变换求A A的标准形 解以A(从)→B(从)表示将A()经初等变换化为B(入),并在一的上方与下方标明所用 列(c)或行(r)变换,有时,将两次(多次)初等变换并作一次于是 2入-1 12入-1 0x2+X-1-A2 0入 0100 0 0λ+ 00100100 0 (-1)r 入2+入一入3-入 0 入 0入(2+1) 最后矩阵为所求 196
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