湘司警院2006年(上)《高等数学下》期末试卷(C) 适用区队:05信管301 命题人:张建贵时量:100min 队: 姓名: 学号 题号 得分 干日十十 五六总分 单项选择题(每小题3分,共30分) 1.直线x-1==三与平面3x+4y-=2的位置关系是(C) (A)平行;(B)垂直:(C)直线在平面内:(D)相交但不垂直 曲线 V=x 在点(1,1,2)处的切线方程为(C B y+1z+4 26 3.设平面区域D:1sx2+2s4,则/(x2+y2b=(C (A2(b;(/(M;:(C)2∫(mb;:(D)rub 4.根据二重积分的几何意义,下列不等式中正确的是(B) (A)j(x-1)>0,D:≤1,≤1:(B)j(x+1da>0D:≤1,≤l Ddo >od mx2-y2)da>0.D:冈+p 5.y”+2y+2y= e Cos x的特解形式可设为(A); (A)x(Acos x+ Bsin x )e:(B)Axe cos x: ( C)Axe sin x: (D)Ax(cos x +sin x)e 知f(x (C)2x-2y(D)x+ 7.函数z=x2-y2+1的极值点为(D) (A)(0,0):(B)(0,1);(C)(,0);(D)不存在 第1页(共4页)
第1页（共 4 页） 湘司警院 2006 年（上）《高等数学下》期末试卷（C） 适用区队：05 信管 301 命题人：张建贵 时量：100min 区队： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 直线 1 1 3 2 1 − = − = x− y z 与平面 3x+4y−z=2 的位置关系是( C ). (A)平行； (B)垂直； (C)直线在平面内； (D)相交但不垂直. 2. 曲线 = + = 2 2 2 z x y y x 在点(1 1 2)处的切线方程为( C ) (A) 8 2 2 1 1 1 − = − = x− y z ； (B) 6 2 2 1 1 1 − = − − = x− y z ；(C) 6 4 2 1 1 + = + = x y z ； (D) 8 2 2 1 1 1 − = − − = x− y z . 3. 设平面区域 D： 1x 2+y 24，则 + D f ( x y )dxdy 2 2 =( C ). (A) 2 0 2 rf (r)dr ； (B) 2 0 f (r)dr ； (C) 2 1 2 rf (r)dr ； (D) 2 1 f (r)dr . 4. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A) x D D ( 1)d 0, − ： x ≤ 1， y ≤ 1 ； (B) x D D ( 1)d 0, + ： x ≤ 1， y ≤ 1 ； (C) x y D D ( )d 0, 2 2 − − ： 2 2 x + y ≤ 1 ； (D) x y D D ln( )d 0, 2 2 − ： x + y ≤ 1． 5. 2 2 e cos x y y y x − + + = 的特解形式可设为（ A ）； (A) ( cos sin )e x x A x B x − + ； (B) e cos x Ax x − ； (C) e sin x Ax x − ； (D) (cos sin )e x Ax x x − + ． 6. 已知 2 2 f (x + y, x − y) = x − y ，则 x f = + y f （ C ）； (A) 2x + 2y ； (B) x − y ； (C) 2x − 2y (D) x + y ． 7. 函数 1 2 2 z = x − y + 的极值点为（ D ）． (A) (0,0) ； (B) (0,1) ； (C) (1,0) ； (D) 不存在．
8.正项级数∑an若满足条件(D)必收敛 (A) 0:(B) lim an<:(c) lim an+1<1:(D) lim an=a>l 9.设级数∑an∑b∑n且an<b<n(n=12…),则(B)正确 (A)若∑bn收敛,则∑an必收敛:(B)若∑an,∑cn都收敛,则∑bn必收敛: (C)若∑an∑ 都发散,则∑b必发散:(D)若∑bn发散,则∑c必发散 10.当a与b满足(D)时,有+b=a+b (Aa⊥b;(B)a=Ab(为常数);:(C)a∥b;(D)ab=al|b 二、填空题(每小题3分,共30分) 1.以曲线{x+y=为准线,母线平行于:轴的柱面方程是2+12-2c=0 2.曲线{F=6-=绕:轴旋转所得的旋转曲面的方程是2+2 n(2x+3y) =3c0(2x+3y)-6xsin(2x+3y); 4.设z=ln(x2+y2),则d 5.设D:冈≤兀,≤1,则∫(x 6.改变二次积分「(xy地的积分次序得 f(x, yd: 写出麦克劳林展开式,并注明收敛域:ln(1+x)=x 23-…+(-1)+…x∈(l,1 8.(2)y"+py'+qy=0的特征方程为r2+p+q=0 y"=2sinx的通解为-2sinx+C1x+C2; 10.设∑anx”的收敛半径为R,则∑anx2的收敛半径为√R 第2页(共4页
第2页（共 4 页） 8. 正项级数 n=1 an 若满足条件（ D ）必收敛； （Ａ） lim = 0 → n n a ；（Ｂ） lim 1 1 + → n n n a a ；（Ｃ） 1 lim 1 n n n a a + → ；（Ｄ） lim 1 1 = + → n n n a a ． 9. 设级数 = = =1 1 1 , , n n n n n n a b c ，且 n n n a b c (n = 1,2, ) ，则（ B ）正确． （A）若 n=1 n b 收敛，则 n=1 an 必收敛； （B）若 n=1 an ， n=1 n c 都收敛，则 n=1 n b 必收敛； （C）若 n=1 an ， n=1 n c 都发散，则 n=1 n b 必发散；（D）若 n=1 n b 发散，则 n=1 n c 必发散. 10. 当 a 与 b 满足（ D ）时，有 a + b = a + b . (A)a b ⊥ ； (B) a b = ( 为常数)； (C) a ∥ b ； (D) a b a b = ． 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 以曲线 = + = z x x y z 2 2 2 为准线 母线平行于 z 轴的柱面方程是 x 2+y 2−2x=0； 2．曲线 = + − = 0 4 0 2 2 y x z z 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 x 2+y 2+z 2−4z=0； 3. 设 z=xsin(2x+3y) 则 x y z 2 = 3cos( 2x + 3y ) − 6x sin( 2x + 3y ) ； 4. 设 ln( ) 2 2 z = x + y ，则 1 1 d x y z = = = d d x y + ； 5. 设 D ： x ≤ π ， y ≤ 1 ，则 ( sin )d d D x y x y − = ０ ； 6. 改变二次积分 2 0 1 0 ( , ) x dx f x y dy 的积分次序得 1 1 0 ( , ) y dy f x y dx ； 7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域：ln(1 + x) = − + − + − + (−1,1] + x n x ( 1) 3 x 2 x x n n 1 2 3 . 8. (2) y + py + qy = 0 的特征方程为 0 2 r + pr + q = ； 9. y = 2 sin x 的通解为 1 2 − + + 2sin x C x C ； 10. 设 n=1 n n a x 的收敛半径为 R，则 =1 2 n n n a x 的收敛半径为 R
三、判断题(正确的打“√”错误的打“X”,每小题2分,共20分) 1.y′=y的通解为y=Cex(C为任意常数 2.a×b=-b×a 3.f(n,x)=(xy)-=1(x)-表达式成立 4.若z=f(x,y)在(x,y0)处偏导数存在,则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微:(x) 5.二重积分f(x,yddf(xy)≥0的几何意义是以z=f(x,y)为曲顶, D为底的曲顶柱体的体积 6.交错级数∑(-1)an,若man=0,则∑(-1”an收敛 7.函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数. 8.y"+y”-x=0的特征方程为r3+r2-1=0; 9.若a×b=b×c且b≠0,则a=c; 10.交错级数∑(-1)an,若man=0.则∑(-1)"an收敛 四、(7分)解微分方程y"=x-2y 解:设y=p(x),则y”=p(x),原方程变形为p′=x-2p, 对应的齐次方程为 p'+2p=0, 用分离变量法,得 d P 两边积分,得 np=-2x+lnc,即p=ce2x, 根据常数变易法,设p=c(x)e-x,代入p'=x-2p,有 c(xe=x, c(x)=xe", 积分得c(x)=jxe2d1r42x=x2Jx=xe2x-e2+C1, 第3页(共4页)
第3页（共 4 页） 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题 2 分，共 20 分） 1. y = y 的通解为 e x y C= （C 为任意常数）． （ √ ） 2. ab = −ba ; ( √ ) 3. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , x x x y y x x x x f x y f x y f x y = = = = = 表达式成立； （ √ ） 4. 若 z = f (x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处偏导数存在，则 z = f (x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处一定可微；（ ） 5. 二重积分 f (x, y)dxdy,f (x, y) D ≥ 0 的几何意义是以 z = f (x, y) 为曲顶， D 为底的曲顶柱体的体积； ( √ ) 6. 交错级数 ( 1) , 1 = − n n n a 若 lim = 0, → n n a 则 = − 1 ( 1) n n n a 收敛; （ ） 7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数. （ √ ） 8. y + y − x = 0 的特征方程为 3 2 r r + − =1 0 ； （ ） 9. 若 a b = b c 且 b 0 ，则 a = c ； ( ) 10. 交错级数 ( 1) , 1 = − n n n a 若 lim = 0, → n n a 则 = − 1 ( 1) n n n a 收敛． （ ） 四、（7 分）解微分方程 y = x − 2y . 解：设 y = p(x) ，则 y = p (x) ，原方程变形为 p = x − 2 p ， 对应的齐次方程为 p + 2 p = 0 ， 用分离变量法，得 d 2d p x p = − ， 两边积分，得 ln 2 ln p x c = − + ， 即 2 e x p c − = ， 根据常数变易法，设 2 ( )e x p c x − = ，代入 p = x − 2 p ，有 2 ( )e x c x x − = ， 2 ( ) e , x c x x = 积分得 2 ( ) e dx c x x x = = 1 2 de 2 x x = 1 1 2 2 e e d 2 2 x x x x − = 2 2 1 1 1 e e 2 4 x x x C − +
变形后所得一阶微分方程的通解为24+ce3, 所以,原方程的通解为y-(x)x-∫(-1+Ce)=C1+Ce2+x- 五、(7分)在曲线{y=12,上求一点,使其在该点的切线平行与平面x+2y+z=4,并写出切线方 解设所求点为(t0,t,t), d/≈6=2n,dsp =3 故切线方程为 x-to y-to =-lo o 由于切线与平面平行,切线的方向向量s={1,20,312}与平面的法向量n={1,2,1}垂直,有 sn={1,2to,3tb2}·{1,2,1}=1+410+3t2=0, 解方程,得 to=-1或 当t0=-1时,切点为(-1,1,-1),切线方程为x+1 y-1 3 当l0=-÷时,切点为( 11 切线方程为x+ 六、(6分)求=x2+y2+5在约束条件y=1-x下的极值 解作辅助函数 F(x,y,4)=x2+y2+5+(1-x-y) 则有 F=2x-1,F=2y-, 解方程组 =0. 得 现在判断P(,)是否为条件极值点 由于问题的实质是求旋转抛物面z=x2+y2+5与平面y=1-x的交线,即开口向上的抛物线的极 第4页(共4页)
第4页（共 4 页） 变形后所得一阶微分方程的通解为 p = 2 1 1 e 2 4 x x C − − + ， 所以，原方程的通解为 y = p x x ( )d = 2 1 1 ( e )d 2 4 x x C x − − + = 2 1 2e x C C − + + 4 4 2 x x − ． 五、（7 分）在曲线 = = = 3 2 , , z t y t x t 上求一点，使其在该点的切线平行与平面 x + 2y + z = 4 ，并写出切线方 程. 解 设所求点为（ 0 t ， 2 0 t ， 3 0 t ）， 0 d d t t x t = =1， 0 d d t t y t = =2 0 t ， 0 d d t t z t = =3 2 0 t ， 故切线方程为 2 0 3 0 0 2 0 0 1 2 3t z t t x t y t − = − = − ， 由于切线与平面平行，切线的方向向量 s ={1，2 0 t ，3 2 0 t }与平面的法向量 n ={1，2，1}垂直，有 sn ={1，2 0 t ，3 2 0 t }·{1，2，1}=1+4 0 t +3 2 0 t =0， 解方程，得 0 t = − 1 或 3 1 − ， 当 0 t = − 1 时，切点为（ −1，1， −1 ），切线方程为 3 1 2 1 1 + = − − + = y z x ； 当 0 t = 3 1 − 时，切点为（ 3 1 − ， 9 1 ， 1 27 − ）， 切线方程为 3 1 27 1 2 3 9 1 3 1 + = − − + = y z x ， 即 27 1 2 9 1 3 3 1 = + − − = + z x y ． 六、（6 分）求 5 2 2 z = x + y + 在约束条件 y = 1− x 下的极值． 解 作辅助函数 ( , , ) 5 (1 ) 2 2 F x y = x + y + + − x − y ， 则有 Fx = 2x − , Fy = 2y − ， 解方程组 2 0, 2 0, 1 0, x y x y − = − = − − = 得 1 , 1 2 x y = = = ． 现在判断 1 1 ( , ) 2 2 P 是否为条件极值点： 由于问题的实质是求旋转抛物面 5 2 2 z = x + y + 与平面 y = 1− x 的交线，即开口向上的抛物线的极
值,所以存在极小值,且在唯一驻点P(,)处取得极小值≈11 第5页(共4页)
第5页（共 4 页） 值，所以存在极小值，且在唯一驻点 1 1 ( , ) 2 2 P 处取得极小值 11 2 z = ．