§2.2 Cauchy定理 单通区域的 Cauchy定理: 设f(x)在单连通区域内解析,中f(k=0 1-0内的任意一条分段光滑的曲线,则 欲证:4=0只须证√u+ 分析 f(a)dt=lucx-vdy+ C=0 已知:2nv Oxay故利用此条件求B、 a v au Ox
§2.2 Cauchy定理 f x( ) 一、单通区域的Cauchy定理： 设 在单连通区域 s 内解析， l-s 内的任意一条分段光滑的曲线，则 ( ) 0 l f z dz = —ò 分析：∵ ( ) l l l f z dz = udx-n n dy+ + i dx udy —ò ò ò ∴ 欲证： A = 0 0 0 B C ì = í î = 已知： u x y u x y n n ì ¶ ¶ = ï ï ¶ ¶ í ¶ ¶ ï = - ïî ¶ ¶ 故利用此条件求B、C 只须证
而由Gren公式有:B -ov au do=0 do=0 其中*-L的围区域4y ∴只要B、G满足 Green公式存在条件: 具有连续的一阶偏微商,即f()在 上连续,我们便可证明此定理。 然而这一条件并非已知,1851年 Rieman 在补充了这一条件后证明了上述定理
∴ 只要B、C 满足Green公式存在条件： 而由Green公式有: (2) (1) 0 0 u B d x y u C d x y s s n s n s æ ö -¶ ¶ = ç ÷ - = è ø ¶ ¶ æ ö ¶ ¶ = ç ÷ - = è ø ¶ ¶ òò òò u,n 具有连续的一阶偏微商，即 f z( ) 在 s* 上连续，我们便可证明此定理。 然而这一条件并非已知,1851年Rieman 在补充了这一条件后证明了上述定理。 其中 s * L的围区域
证明:设 f(-)在内连续,则 f(a)dz=ll, udx-vdy +ip vdx +udy (∵f()连续)r(oa a av do+ 解析 a O f( R
证明：设 f z( ) 在 s 内连续 , ( ) l l l f z dz = udx-n n dy + + i dx udy — — ò òò ò 则 （∵ f z¢( )连续) * * u u d i d x y x y s s n n s s æ-¶ ¶ ö æ ö ¶ ¶ ç - ÷ + - ç ÷ è ¶ ¶ ø è ø ¶ ¶ òò “òò f z( ) 解析 C R- 0
注意: 大家自然会产生这样的疑问:补充了条件后的证明定律, 实际上是更改和增加了定理条件,这对证明原来的定理 也就失去了意义。然而本定理不是这种情况, Cauchy定 理已于1900年由urt在没有条件f(-)在O内连续 的条件下证明了。后来我们也会看到,(2)在O内连续是 包含在条件()在内解析中的。所以在这里实质上并 未增加条件,也未出现循环推理, Cour sa证明引论H4。 Cauchy定理很重要,人们又称之为解析函数或积分的基 本定理
大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律， 实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理 也就失去了意义。然而本定理不是这种情况，Cauchy定 理已于1900年由Coursat在没有条件 在 内连续 的条件下证明了。后来我们也会看到， 在 内连续是 包含在条件 在 内解析中的。所以在这里实质上并 未增加条件，也未出现循环推理，Coursat证明引论CH4。 Cauchy定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基 本定理。 注意： f z ¢( ) f z¢( ) s f z ¢( ) s s
例1:rc c 奇点z=3在l外 注意:沿闭路径积分之值为0的被积函不一定解析。 d z 如: 0但 不解析
例1： ? l 3 dz z = - ò ) 3 2 : ) 2 i z l ii z ìï - = í ï = î ) 2 l 3 dz i i z = p - ò ) 0 l 3 dz ii z = - ò ∵ 奇点 z =3 在 l 外 注意：沿闭路径积分之值为0的被积函不一定解析。 如： 2 0 ( 2) dz z = - —ò 但 2 1 (z -3) 不解析