第三章矩阵 矩阵是线性代数中的重要內容.线性代数中的计算及线性代数的应用都离不开矩阵及其计算.掌握并 灵活运用矩阵运算规律是很重要的
3.1矩阵的运算 本节将介绍矩阵的加法,矩阵与数的乘法,矩阵与矩阵的乘法,减法可变为加法,因而不必单独介绍. 以后,用PmNn表示元素在数域P中的所有m×n矩阵的集合 矩阵的加法,矩阵与数的乘法 定义1设A=(aj),B=(;)∈Pm.则A与B的和A+B定义为 a+B 求A,B的和的运算称为加法 根据这个定义,我们立即知道,若A,B,C∈Pm.则 C=A+B 当且仅当 ent;C=ent:jA+ent:B,1≤≤m,1≤j≤7 当且仅当 row;C= TOw: A+row;B,1≤≤m 当且仅当 col;C= col; A+ col;B, 1<i<n 定义2设A=(a)∈PM,k∈P.定义k与A的积为 kA=(kaij 求k与A的积,称为矩阵与数的乘法 根据定义,若A,B∈Pm,k∈P,则 当且仅当 etiB= kentijA,1≤8≤m,1≤j≤7 当且仅当 row;B=krow:A,1≤a≤m 当且仅当 ol;B=kool;A,1≤j≤" 从上面矩阵加法,矩阵与数的乘法的定义立即可得下面性质 1.A+B=B+A,VA,B∈Pm×n 2.(A+B)+C=A+(B+C), VA, B,CE Pxn
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3.以0记所有元素为0的m×7矩阵(称为零矩阵).则 A+0=A,yA∈P 4.记-A=-1·A,则 A+(-A)=0,VA∈P (k)A=k(LA),vk,l∈P,A∈P 7.(k+lA=kA+lA,vk,l∈P,A∈Pmnn 8.k(A+B)=kA+kB,k∈P,A,B∈PMn 这八条是最基本的性质,此外还有 9.若A+B=A+C,则B=C. 事实上,B=B+(A+(-A))=(A+B)+(-A)=(4+C)+(-4)=C+(A+(-A)) 10.若A,B∈Pm×n,定义 B=A+(-B) 这样,我们在PXn中也有减法运算 11.以A,B′表示矩阵A,B的转置 (A+By=A+By,(kAy=kA,Vk∈P,A,B∈P 例1以Ej表示第行,第j列处为1,而其余元素为0的m×7矩阵,即 kE=k;0l,1≤k≤m,1≤ 又A=(aj)∈P×.从矩阵加法,矩阵与数的乘法的定义及性质知 A 矩阵乘法 定义3设 阵 hm1am阵 b1b阵…b 阵…b
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分别为mmp(pm8矩的,定即1加)A积1)为一个mm8矩的,且0第n处,第t列处A 乘素为 平性性三華·1j+矩+L+pj CL Lll Cin O矩矩矩lC矩 222l2l2 cm1Cmn矩 LLl Cm n 0及 平性性;(1inm(1 i ti 8 求二矩的A积A运7叫矩阵的定表 如果m=8=1,这时 (=1l)5 一性性 由定即,我们知道若1nPm×P( Pp( e n P.则 当且仅当 e性em性;)= ent fje(1 n: m(1 当且仅当 eI阵e(1inim(1iti8 当且仅当 阵=row阵t)(1i 当且仅当 cole =1 I col,)(li ti 8+ 注意.3任何两个矩的b可,相乘,1加)能相乘,必须1A列4加)A处4相等a法而 1)而意即, 定)1而意即a如1=(12)()=(01),则1)=(12),但)加1 能相乘a 即使1加);)加1b可,相乘,但1)加)1未必3同类型A矩的a如1 1则1)=4为1m1矩的(4),而)1 为 矩 减1()同为8阶方的时,1)()1基3加1()相同阶A方的,但1)加)1.一定相 如 81
/0 ! $ 1 - .- (. ! 1$ ) *2 "+ 2 ! #" # !# # !# # !# # !# 3 ,3- 4 .45 ( .44 6!1 6!* 5 .4 !/ 45 0127* 1 36+ * 41365 1 4 4*
均为2阶意<,须 阵中00性中阵20 性阵中6中阵 因而1≤的乘法运+与(,型项式,函(的乘法运+有运大差别,这=、特别留心的 例2设B是1P三性中1PP×p则 row数1j0性知运性 TowREwgl j row IF 证若运6,则row数0于 row数 Ewsl j krow数知是中j0 er医 I j ent数次数中 数数中 Iow地 EkIFL j row唐 例3设阵1P=P性E是1Pxp则 Co数阵j慝l 证注意到 因而 coBj阳ol数,a;B3思 矩 例4设B数1P1×1则 B是5数j数娅 1≤乘法,加法及1≤与(的乘法间有以下一些常、的一质
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