0.1概述 0.2预备事项 1.连加号(∑)在数学中,为了使数学式表示简单明确,通常要规定一些特殊符号,连加号就是其 个数 简记为 当然,也可以记为∑a,∑ak等等 序列 中从第p项到第q项之和,则可记为 ∑b
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则表示上述序列的第在项到第学预在项中所有奇数项的和,即 为1中为预为预…预为明数 以后,还可能出现两个,三个,甚至更多个连加号2一起的情况 例如有确述个数,我们可将它们排成一个长方阵,确个强言,述个剴将第通行,第 些列的数表示为韦简有下面的表 事1事 事 事1事 事 1 第在行,第学行,麴第确行各数之和分别为 事颌事赞项摧澈 籥 然后,再将这些数求和,即 表事带预表事蕾预…预表癱带数 籥1 这时可将此数记为 事馓 子1籥1 这数实际上是确述个数的总和.当然,我们也可先按列求和,而后将各列之和相加而求得总和.因此,我 们有 簪番雒 中 事 子 其它还有许多情况,以后再逐渐熟悉 2连乘号引言与连加号相类似的,有连乘号定 述个数事项事项變项賂之积 事事 十记为 帶 当然,也可以有多重连乘号.例如前面所说的确述个排成长方阵的数的积,可表示为 帶 事简或者 :x
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有时可能用到一些别的表示法.例如 ∏I(a;-a) 表示所有<j的a-G因子的乘积,即 ∏I(a;-ai)=(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1) 1<1<)<n (an 为zn(n-1)个因式之积 3数学归纳法我们知道,证明一个与自然数有关的性质E()对所有自然数成立,首先对数1 证明E(1)成立,然后在“归纳假设”之下,即假定数n具有性质E()来证明数7+1具有性质 E(m+1) 这种证明方法的可靠性在于自然数集N有下面性质 “完全归纳原理”设S为N的子集,而且满足 1)1∈S; 2)若n∈S,则7+1∈S 那么,S=N 自然数集N除了上面的“完全归纳原理”的性质外,还有一个很重要的性质 定理自然数集N的任一非空子集都有一个最小数 证设S是N的一个非空子集,于是有k∈S.因此集合 S∩{1,2,,}={s∈S|s≤ 是有限集,于是有最小数m 显然,m∈S,8∈Sk,则8≥m.又若n∈S,Sk,则7>k≥m.故m是S的最 小数 由这个定理,我们可以建立第二数学归纳法 为证明一个与自然数有关的性质E(m)对所有自然数成立,首先证明E(1)成立.在归纳假设对每 小于n的数k(<n)E(k)成立下,证明E(m)成立.那么,E(m)对所有自然数都成 事实上,假设使E(n)不成立的自然数集为S.若S非空,即S≠.则S中有最小数70 k<n0时,E(k)成立.故E(7o)成立,即70∈S.矛盾.因而我们知道第二归纳法成立 例1证明 Fibonacci序列a1=1,a2=2 通项公式
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证直外验算有 表3,√5 以之 即7=表2时公式成立.时设k,时,公式成立.现证?,表时公式成立.此时 之之 以之 表表,√5 表 表表,√5 中 2 即公式成立.于是公式对任意自然0成立 双重数学归纳法若E(m,m)是依任于独立的自然0m的性质.如小可以对m用0学下纳 法证数对任限自然0m定性质E(m,割成立.对任限显定的m定又可对7用下纳法证数E(m,m)对 任限自然0成立.那么性质E(m,n)对<切自然0m定成立 事实上,事 S=、(m,n)m,nN,E(m,n)不成立 显然,表/S1.若S二知即S1=.设1+S1的最小0,于是m13(m1,m1),S.但是 E(m1,k,k<m1时,E(m1,k)成立因而E(m,m1)成立故(m1,m1)/S 当然,我们可以有更多重的0学下纳法 k举下<个所子之前,我们先不示证数地叙述有关自然0(整0)的性质 通常,如小自然0(整0)a如整除自然0(整0)b我们些 a,b的最大公约0,最小公倍 0分别些+(a,b,方,b.如小(a,b)=表则称a与b互素 若P是素0,且P24b.则P4是 成
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例2设自然数a1,a2,,am中每一个与自然数b1,b2 b中每一个互素,即 1<8≤m,1<j 则a1a2…am与b1b2…bh互素. 证设7=1,当m=1时,(a1,b1)=1.假设m-1时,结论成立.现证m时,结论成 立.若不然,则有素数P,使得P b1).因而 pb 因而pⅡG或p|am·于是 p(Ia,b)或pl(am,b) 这是矛盾的.于是对任意自然数m,当n=1时,结论成立.设n-1时,结论成立.现证7时结论 成立.若不然,则有素数P使得 于是 ∏b或pbn 因而 Ia,Ⅱb或 这与 ,Ⅱb=Ⅱ 矛盾.故”时结论成立.故结论对任何自然数m,7成立 归纳定义(归纳构造法)定义一个与自然数7有关的量y(m),如果qp(m)是用φp(m)(m<7) 来表示,这种定义方法,称为归纳定义法 例如,设a是一个数.a的正整数方幂的定义为a1=a,a=a-1·a.就是归纳定义的 又如,等比数列,a1=a,an=an-1·a,也是归纳定义的
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