第二章Bese函数 国中心: Besse/函数 口1. Besse程的级数解 ■2. Besse函数的性质 口3.其他柱函数 14.在“柱中”∫△+n=0 l=0
第二章 Bessel函数 中心：Bessel函数 1．Bessel方程的级数解 2．Bessel函数的性质 3．其他柱函数 4．在“柱中” 0 0 u u u ì D + = l í î D =
§1 Besse/函数 Bessel方程在x=0点邻域的级数解 Bessel方程更一般形式为: xy+xy+(x2-v2)y=0v-实数(1 由书D353,常微方程的级数解法知, p(x) q(x)=1 x=0为(1)的正则奇点,故
§1 Bessel函数 一、Bessel方程在 x=0 点邻域的级数解 Bessell方程更一般形式为： 2 2 2 x y¢¢ ¢ +xy + = ( - x y n n ) 0, - 由书p353，常微方程的级数解法知， 2 1 p(x) , q x( ) 1- x x æ ö n = = ç ÷ è ø ∴ x＝0为（1）的正则奇点，故 实数（1）
1.令y=∑ 代入(1): E(k+prk+p-1)C*+2(k+pCr+2Cxp2-VECx*P=0 即∑(k+p)]x”+Cx2=0 2.比较X最低次幂的导数:设v>0 )C0=0(C0≠0)→ 判定方程:p2-v2=0(2) 则
1．令 0 k k k y C x + r ¥ = = å 代入（1）： 2 0 0 0 0 2 ( )( -1) ( ) - 0 k k k k k k k k k k k k k k C x k C x C x C x r r r r r r r n ¥ ¥ ¥ ¥ + + + + + = = = = å + + +å + + = å å 即 2 2 2 0 0 ( ) - 0 k k k k k k k C x C x r r r n ¥ ¥ + + + = = å å é ù + + = ë û 2．比较 x 最低次幂的导数： r 2 2 0 0 ( r n- ) C C = 0 ( ¹ ® 0 ) 判定方程： 2 2 r n- 0 = （2） r n = ± , 设 n > 0 则 1 2 r = = n , - r n
3.令1=∑Cx代入(1): k=0 +k)2 (v2-v2)C=0,设C0≠0 :[v+13-v2]C=0→C1=0 :[w+)2y2]C C,=0 k- 2(3) k(2v+k)
3．令 1 0 k k k y C x n ¥ + = = å 代入（1）： 2 2 2 0 0 ( ) - 0 k k k k k k k C x C x n n n n ¥ ¥ + + + = = å å é ù + + = ë û 2 2 0 x C : ( - ) 0, n n n = 设 0 C ¹ 0 1 2 2 1 1 x : ( 1) - C C 0 0 n n n + é ù + = ® = ë û 2 2 -2 : ( ) - 0 v k k k x n n k C C + é ù + + = ë û -2 - (2 ) k k C C k k n = + ∴ （3）
2 2×2(v+1) G1=0 3(3+2V) 4(2v+4) C=0 于 (lCo C1=0 2n(v+m)Xv+-1)…(+) 1yco【v+) n=1,2;… 2n!r(v+n+D)
∴ 0 2 1 3 2 4 5 - , 2 2 ( 1) - 0, 3( 3 2 ) - , 4 ( 2 4 ) 0 C C C C C C C n n n = ´ + = = + = + = 于是 0 2 2 2 1 0 2 (-1) ; 0 2 !( )( -1) ( 1) (-1) ( 1) 1,2, 2 ! ( 1) n n n n n n C C C nnn C n n n n n n n n = º + + + ××× + G + = = ××× G + + ；