第二章行列式 行列式是多元一次方程组(线性方程组)求解中产生的,现在它不仅是解线性方程组的工具,也是线 性代数以及别的数学分支,物理学中常用工具.行列式的概念很简单.关键是计算行列式的技巧及应用行 列式的灵活性.这是要特别注意的
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2.1矩阵 在数域P中取mn数,将它们排成m(横行(row),n(竖列( column)的长方阵(将第 讠行,第j列的元素( entry),记为ij),再加上括号,即有 C 2 我们称它为P上的一个m×n矩阵( matrix).通常用一个英文大写字母,例如A表示,从上到 下的各行依次叫第1行, 并记为row1A,,, rowm A;从左到右的各列依次叫第1 列, 第列,并记为col1A, olnA;矩阵中每个数,也叫做矩阵的元素,第行,第j列 处的数(元素)j,也记为 entia P上的m×矩阵A与kxl矩阵B叫做相等,如果满足1)m=k,n=2)emt;jA eItB,1≤≤m,1≤j≤n.也就是说A,B是一样的 只有一行的矩阵称为行矩阵;只有一列的矩阵称为列矩阵 个”×?的矩阵叫做阶方阵.7阶方阵 10 01 其中 tij In = di 0,;≠, 称为7阶单位矩阵 例1矩阵 的第2行,第3列与第2行第3列的元素分别为 013A ent 23A=3 设A是一个m×的矩阵 21 49
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将A的第1行,第2行,,第m行顺次竖排成第1列,第2列,,第列,得到另一个矩阵 称为A的转置.常记为A(或A) 显然A是 矩阵.且与A有以下关系: A,1≤<,1≤j≤ rowiD"=(olA),1≤i≤m; Dl; A'=(row; A) 而且,若个nXm矩阵B与A有上述关系之一,则B=A,另外两个关系也成立 例2矩阵 的转置为 21 为叙述方便,我们介绍三个术语以及表示它们的符号 1.若将矩阵A的第讠行(第j列)的每个元素都乘以数k,而其它元素不变,所得的矩阵称为 A的第行(第j列乘k,记为Akr;(Akc).于是A与Akr;有下面关系 (hent; A 第二个等式右边简记为krow;A,于是 TOw 7i Ari= k rowi A 类似地Akx;与A有下面关系 olA,l≠j; k A 例3设A 46则
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123 242 2.将矩阵A的第i行(列)加上第j行(列)的k倍,而其它行(列)(包括第j行(列)不 变,即A的第i行(列)的每个元素加上第j行(列)对应元素的k倍.这样得到的矩阵记为A;+kr (A;+kx).于是 A,l≠ 我们将上式右边记为rowA+ k row A.于是 类似地,有 hx 其中 entli A+kent A col: A+kcl; A t 2i A+ kent 2jA 例4对于例3中的A,有 000 309 369 246},A 369 将矩阵A的第i行(列)与第j行(列)互换,其余行(列)不动,所得的矩阵记为Ax (Acg;),即有 rowlArir;=row1A,l≠,j 类似地, A,l≠1,j; olj Ac 51
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例5对于例3中,A,有 132 A 定义1设A,一个矩阵称Akr;≠014r+k;4 rir; Akc;b≠01r4e+k;r4g 为A经过-j初等行列,变换得到,阵k初等。变换,初等4变换,统标初等变换
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