2000年线性代数考研题 1.(001-03已知方程组23a+2x2|=3无解,则 应填-1 由题设必有 23a+2=(3-a)(a+1)=0 即a=3或a=-1.当a=3时 1)(1 A=235:3|→0-13:1→0-13:1 01-31-1)(000:0 显然此时r(A=r(A)=2,方程组有解,因此正确答案必为a=-1 2.(001-03)设维列向量组a,…《m<n)线性无关,则n维列向量组 月,…,风2线性无关的充分心要条件为 (A)向量组a1…可由向量组A1…R线性表示 (B)向量组月,…,2可由向量组a1…&2线性表示 (C)向量组a1,…c与向量组A,…,只等价 ①D)矩阵A=(1,…,&)与矩阵B=(月,…,)等价 解应选D) (A)、(B)、(C均不是月,…,R线性无关的必要条件例 A=(1),则A≠0续性天关但(A.、、()均不成立因此只 有①D为正确答案事实上,月,…,R线性无关,即 r(A,…)=m台r(月,…,月n)=m=(G1,…an)台r(A=r(B) 即A、B等价 3.(001-0)设矩阵A的伴随矩阵A 1010 且 ABA=BA1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B
解本题与A有关,立即联想公式AA=AA=4E 法1由A=AA=A4E推出f=4,即A=8,得|4=2 又给等式ABA1=BA1+3E右乘A得AB=B+3A,再左乘A得 A AB=AB+3AA 于是有 AB=A'B+3AE, Bp(2E-A)B=6E 又2E-A为可逆矩阵,于是B=6(2E-A")-1.由 000 1000 0100 0100 2E-A"= 有(2E-4)2=10 6000 0600 6060 030-1 法2由A=A=4E推出=4,即A=8,得4=2.又有 0100 0200 A=4kA)2=2(4 1010=2020 88 可见A-E为可逆矩阵,于是由(A-EBA1=3E有 B=3(A-E)-A 1000 0100 由A-E=-2010得(4-E)=2010,因此 0 010 4 6000 010010200 0.|-2020-6060 3
4.(00-1-08某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统 计,然后将熟练工支援其他生产部门],其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、 老非熟练工经过培训及实践至年终考核有二成为熟练工.设第n年一月份统计的 熟练工和熟练工所占百分比分别为x和y,记成向量x (1)求与的关系式并写成矩阵形式 )证{,第=(是A的两个续性无关的特征向量,并求出相应 的特征值 解(1)题设可列出与的关系式;(2已知特征向量求特征值 般用定义式A7=A7;(3)求A可通过对角化实现.具体求解过程如下 =死+5x+) 化简得 于是A (2今P=(,)=(11,则由P=5≠0知,线性无关,因为 A7=(1)=,故列为A的特征向量,且相应的特征值A=1 (/2,故刃为A的特征向量,且相应的特征值 又因为A72=1|= A 2
A10 A 22 02 1000 2300 5.(002-03)设A= 450 ,E为4阶单位矩阵,且 67 B=(E+A)-1(E-A,则(E+B)1=_ 1000 解应填 又 A2=aBaB=BaB=2A, A+=8A 代入原方程,得 164x=84x+16x+y,即8A-2B)x=y 令x=(x,x2,x3)2,代入上式,得到非齐次线性方程组 x2-2x3 对增广矩阵施行初等变换 2-10:0→01-211 于是所求方程的通解为 x=0+2(k为任意常数)
由B=(E+A)(E-4知(E+A)B=(E-A),展开得 A+B+AB=E,于是 AB+A+B+E=2E, EN-(A+E(B+E)=E (B+E)2+E)=0-230 6.(00.2.06)设a=2,B= y=o, A=aF, B=Ba, 其中B是B的转置,求解方程 2BAx=Ax+B x+y 注意本题中A为矩阵,B为数.由题设得 A=201.,0) 10B=(1,0)2|=2 7.(0020已知向量组A=1,兵=2,具=1与向量组 a=2,a2=0,c=6具有相同的秩,且可由a1a,线性 表示,求a,b的值 解由题设,可先求出a3,a2,&的秩为2,从而A,月,月线性相关,由此 可得A,B2,B川=0,导出a,b之间的一个关系式,再根据A可由a1,线 性表示即可导出a,b之间的另一关系式,从而求出a,b的值 法1《和α线性无关,&=3+2c,所向量组a,,《线性相 关,且秩为2,a,是它的一个极大无关组.由于向量组月,月,月与 a1a,具有相同的秩,故A,月,月线性相关,从而 由此解得a=3b