1998年线性代数考研题 1.(98103)设A为n阶矩阵,同A≠0,A为A的伴随矩阵,E为阶单位矩阵,若 A有特征值A,则(A2+E必有特征值 解应填 设A有特征值是,则矩阵A,a4+bE,A,A,A(假设A可逆),分别有一特征值为 kaa+b22 由此立即可推出本题的结论 事买上,由Ax=在x(x≠0),若A可逆,则是≠0,于是A2x=1x,即A有一特 A 其余结论可类推 b1 2.(98103设矩阵|a2b22是满秩的,则直线不=y-色=29与直线 b A相交于 (B)重合(平行但不重合D)异面 由初等变换不改变矩阵的秩知 (a1-a2):(h1-b2):(c1-c2)≠(a2-a3):(b2-b3):(c2-c3) 故两直线不平行,可排除(B)、(C) 将两直线分别用参数方程表示.令 b2 a2-a3b2-b3c2-c3 即 )y=b+t(b1-b2),z 以及 +(a2-a3),y=+(b2-b3 +A( 两直线是否有公共点,就看是否存在t,使得对应xyz一致,即
t(a1-a2)=a1+A(a2-a3) b3+(1-b2)=1+a(b2-b) A(c2-c3) 三个方程相加,并整理得 (1+2(a3+b3+c3)+(t-1)(a1+b+c1)-(+A)(a2+b+c2)=0 令1+A=0,t-1=0,t+A=0,得t=1,=-1,代入验证知对应点(a1-a2+a2,h1 b2+b3,C1-c2+c3)确实为两直线的交点 注此题综合运用了线性代数与空解析几何两个知识点,代数与几何、代数与概 高数与概率等相結合的题型,应引起考生的注意 3.(98100已知二次曲面方程x2+ay2+22+2bxy+2x+2yz=4,可以经过正交变 换y=P7化为椭柱面方程2+42=4求a、b的值和正交矩阵P 解由题设,本题相当于二次型f(x,y,z)=x2+ay2+22+2bxy+2xz+2yz通过正交 变换化为标准形∫=n2+42,因此,前后两个二次型所对应的矩阵是相似的,而相似矩阵 具有相同的特征多项式,由此可定出a,b,再按常规方法可求出P f(x,y,z)=x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz,f(,n,2)=n2+42 则由题设前后两个二次型所对应的矩阵A=ba1与A=1必相似,从而有 0+1+4=41+2+2=a1+a2+a3=1+a+1,0=2=团4=2b-82-1 解之得a=3,b=1 对应于特征值A1=0,2=1,马=4可相应求得其特征向量为 √2 √ 因此 (a1,a2,a3)
4.(98-2-03设A是任一(n≥3阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且 k≠0+1,则必有(k4=[] (A)kA (B)k-A (C)k"A D)A-A 解应选B) 本题可采用加强条件的技巧,若A可逆,则由A=AA=|4E,知A=4A (4=14小=k2443=8211=k2341 所以应选(B),题设k≠0土1,n≥3,主要是为了做到4个选项只有1个是正确的 当然,若A不可逆,也能得到相应结论,只是稍微复杂点,要用到A的定义,设 A=(ay),其元素a的代数余子式记作4,则矩阵k=(kay),若其元素的代数余 子式记作46,J=12…,m),由行列式性质有4=k2A1G,/=12…,n).从而(地A0 5.(98-2.05)设(2E-CB)A2=C,其中E是4阶单位矩阵,A是4阶矩阵A的 转置矩阵 201 解先化简.由题设得 C(2E-C-B)A=E, EN(2C-B)A=E 234 2C-B= C 1≠0 0012 故2C-B可逆.于是 1000 A=[(2C-B)=[(2C-B)]1
6.(98-208已知1=(1,4.0,2),a2=(2,7132,a3=(0.1,-1,a), B=(310,b,4)2,间 (1)a,b取何值时,不能由,a,线性表示? (2)a,b取何值时,可由a1,G,&线性表示?并写出此表示式 解本题实质上是含参数方程xa+x2C1+x23=月是否有解的判定可题.因为 120!3 12013)(120 100-11:20-11;-2 01-1 01-1 00a-1 0 2 所以 1)当b≠2时,线性方程组(a,a,)x=B无解,此时B不能由a,a,&线性表 当b 1时,线性方程组(a,a2,G3)x=B有惟 (x1,x2,x3)2=(-12,0) 当b=1,a=1时,线性方程组(a1,a2,&)x=B有无穷多个解: =(x1,x2,x3)=k(-2,12+(-12.0) 其中k为任意常数,这时可由a1,a2,线性表示为 B=-(2+1a1+(k+2)a 7.(98-1-04)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax=0有解向量 且A1a≠0证明:向量组a,Aa a是线性无关的 解证明一组向量a,Aa,…,Ada是线性无关的,最基本的方法就是定义,即设有常 使得 λ1a+A 0 为了稠用Ala≠0,Aa=0,显然A"a=0(m≥k),于是上式同乘以A1,有 即414a=0,由于Aa≠0,所以=0 式()变为Aa+…+44a=0,再两边左乘以A2,可推得2=0,进而类似可 证得λ=λ4=…=λ=0.由定义知向量组a,Aa…,A-a线性无关
8.(98-1-05)已知线性方程组 )a2+a2x+…+a2x2x=0 ax2x1+a2x2+…+a2x2=0 的一个基甜解系为(b12…b2),(b21,b2,…,b2),…,(b1b2,…,b22),试写出 走性方程组 611+a2y (Il) b21y1+b2 的通解,并说明理由 按题目要求,应先写出(Ⅱ)的通解,然后说明理由.所谓通解应满足两点:①是 解:②解向量组线性无关,且个数满足基础解系的要求 由于线性方程组除题设的一般形式外,还可由矩阵表示,相应地本题有两种解法: 代入方程(I)的第一个方程,得 如n+a2b2+…+a12xb2x=0 ,2x21,2x 0 故知a=(a1,a12…,a12)是(Ⅱ)的解 同理代入第23…,n个方程,得a=(a21a2…,a2ax)2,…,a1=(a 均为Ⅱ)的解 又月,月,…,R为I)的基础解系,(I)的系数矩阵的秩必为n,从而(I)的系数矩阵的 行向量姐1,2,…,2线性无关,而(Ⅱ)的系数矩阵的秩为n,未知量个数为2x,其n个 线性无关解向量a,a,…《必为其基础解系,故通解为 kG1+ka2+…+ka(k1k2,…k是任意常数) 法2记方程组(I)(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B,则由题设有AB1=O,因而 (AB)=O,即BA=O,可见A的n个行向量的转置向量为Ⅱ)的n个解向量