§23其他柱函数 三类柱函数 1.第一类(柱函数)—Be函数 ①定义J1(x)=2.(y(x)2 kk!r(±v+k+1)2 为第一类柱函数 ②当V≠m时(已证)J(x)和J(x)线性无关 2.第二类(柱函数)— Neumar函数
§2.3 其他柱函数 一、三类柱函数 1．第一类（柱函数）——Bessel函数： ① 定义 2 0 (-1) ( ) ! ( 1) 2 k k k x J x k k n n n ± ¥ ± = æ ö = å ç ÷ G ± + + è ø (**) 为第一类柱函数 ②当 n ¹ n 时（已证）J x -n ( )和J x n ( ) 线性无关。 2．第二类（柱函数）——Neuman函数
①定义:N、(x) 0s2xJ(x)-J(x)(1) sinv兀 为第二类柱函数 ②无论v=n与否,J(x)和N(x)均为v 阶 Besse方程的线性无关解 即:y=AJ(x)+B,N(x) 若 v≠n,则 (x) cos vT,(x)-(x x SlnvπJ,(x 1 COS VTT ≠常数 SIn vi
②无论 与否， 和 均为 阶Bessel方程的线性无关解 即： ∵ 若 ，则 ①定义： （1） 为第二类柱函数 - cos 2 ( ) - ( ) ( ) sin v J x J x N x p n n np = n = n J x( ) n N x( ) n n y A J (x) B N x( ) = + n n n n n ¹ n (1) - ( ) cos ( ) - ( ) ( ) sin ( ) N x J x J x J x J x n n n n n np np = - 1 ( ) cos - sin ( ) J x J x n n np np é ù = ¹ ê ú ë û 常数
若v=n,则 1|2J(x 1°N 2,(x (2) 2V 2V v=n 此时 M(x)→M(x)→x):(y(0o ∴Nn(x)=1m COSVTJ,(x)-Jy(x) →n slnv丌 SIn v7·丌Jv(x)+cos丌 av aJ av av Im V→n ·coSv丌 1「aJ/v(x 丌Ov (-1)0V V=n
- - cos ( ) - ( ) ( ) lim sin - -sin ( ) cos - lim cos 1 ( ) ( ) - (-1) n n n n n J x J x N x J J J x J x J x n n n n n n np np n n np p n np n n p np n p n n ® ® = = ¶ ¶ + ¶ ¶ = é ù ¶ ¶ = ê ú ë û ¶ ¶ g g 若n = n ，则 - 1 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) - (-1) 2 2 o n n n J x J x N x n n p n n n = é ù = ê ú ë û (2) ∵ 此时 cos ( ) - (-1) ( ) 0 ( ) ( ) sin 0 n n n n n J x J x N x N x n n p p ® ® = ∴
x14(n-k-1)! 2N(x)=-J(x)ln-∑ 丌 2k=0k 2k 丌k0k(n+k)! (k+1)+v(n+k+1) (3) v(1)=v=0.5721.v(k+1)=-y+1+-+.1 2k 这只需将J(x)的级数表达式代入(2) 式进行冗长的计算即可得到
2 - -1 0 2 1 ( - -1)! 2 ( ) ( )ln - 2 ! 2 k n n o n n k x n k x N x J x p p = k æ ö = å ç ÷ è ø [ ] 2 0 1 (-1) - ( 1) ( 1) !( )! 2 k k n k x k n k k n k y y p + ¥ = æ ö å + + + + ç ÷ + è ø (3) 1 1 (1) - -0.577216, ( 1) - 1 ... 2 k k y = n = y g + = + + + + 这只需将 的级数表达式代入（2） 式进行冗长的计算即可得到 ( ) V J x ±
3°Nn(x)是方程(*)的解,而只要证明(2)满 足(*)即可 x2J/",(x)+xJ(x)+(x2-y2):(x)=0 将上式分别对v求导得: d 2 a ()d a +( a,(r) 2J(x)=0(4) x av dx av v 2aaM(),daJ(4()(x)2,()=0(B) x2 ovx Ov
是方程（*）的解，而只要证明（2）满 足（*）即可 3 ( ) o N x n ∵ 2 2 2 x J (x) xJ (x) (x - )J x( ) 0 n n n n ± ± ± ¢¢ ¢ + + = 将上式分别对 n 求导得： 2 2 2 2 2 2 2 - - - 2 2 2 - ( ) ( ) ( ) ( - ) - 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ) 2 ( ) 0 ( ) d d J x J x J x x x x J x A dx dx d d J x J x J x x x x J x B dx dx n n n n n n n n n n n n n n n n ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶