§2 Bessel函数的性质 母函数关系式 e27=∑J(x)"(*) 思路 ①设e27=∑C(x)则由展系数公式有 1,2,若 9 m dt=j,(x) 2兀1 则得证,但目前Jn(x)积分式不知
思路 ①设 则由展系数公式有 则得证，但目前 积分式 不知 §2 Bessel函数的性质 一、母函数关系式 1 ( - ) 2 - ( ) x t n t n n e J x t ¥ = ¥ = å （*） 1 ( - ) 2 - ( ) x t n t n n e C x t ¥ = ¥ = å 1 ( - ) 2 1 1 ( ) 2 x t t n n l n e C dt J x pi t + = = —ò 若 ( ) n J x
②用指数函数的展开式t=∑,|< 和绝对收敛级数可逐项相乘的性质证 证明:∵e2=∑ <∞即‖t<∞ m!、2t =点=∑1( (-1y 12)m0m!2t)m01m(2 令1-m=n,则l=m+n
②用指数函数的展开式 和绝对收敛级数可逐项相乘的性质证 0 , ! k z k z e z k ¥ = = å < ¥ 2 0 1 , ! 2 2 l x t l x x e t t t l ¥ = æ ö æ ö = å ç ÷ ç ÷ < ¥ < ¥ è ø è ø 即 - 2 0 1 - - 0 ! 2 2 m x t m x x e t m t t ¥ = æ ö æ ö = å ç ÷ < ¥ > ç ÷ è ø è ø ( ) 1 - 2 - 2 2 - 0 0 0 0 1 1 (-1) - ! 2 ! 2 ! ! 2 x t t l m m l m x x t t l m l m l m xt x x e e e t l m t l m + ¥ ¥ ¥ ¥ = = = = æ ö æ ö æ ö = × = å ç ÷ × = å ç ÷ å å ç ÷ è ø è ø è ø 证明：∵ ∴ 令 l - m n = ，则 l = + m n
于是∑→ → =0m+n=0 =S y(x *米 2m"t"=∑J(x) n=0m0(m+m)!n!2 sin 0 问:①Jn(x)= 1 rin+ ul= ie de 兀l 1=1,(+)0 x)=ne(mud或 J, (x)=o cos(xsin 0-ne)de 丌
于是 l 0 m n 0 n - - m n ¥ ¥ ¥ ¥ = + = = = ¥ å ® å ® ® å å ∴ ( ) 1 - 2 - 0 - (-1) 2 ( ) ( )! ! 2 x t t m m n n n n n m n x e t J x t m n n ¥ ¥ ¥ + = ¥ = = ¥ = = å å å + (**) 问：① ( ) 1 - sin 2 1 1 ( 1) 1 1 ( ) 2 2 x t ix t i n i n n t e e J x dt ie d i t i e q q q q p p + = + = = — — ò ò l ∴ 1 ( sin - ) ( ) 2 i x n n J x e d p q q p q p = ò- 或 0 1 ( ) cos( sin - ) n J x x n d p q q q p = ò
问:②Jn(x)的微分式? 答:无,∵L展系无微分式 可:③J(x)V≠n)有母函关系吗? 答:无
问：② J x n ( ) 的微分式？ 答：无，∵ 展系无微分式 问：③ 有母函关系吗？ 答：无 J ( x n )( ) n n ¹ L
递推公式 1.[d J(x)=xv(x) d x1(x)1=xy1(x) (2) dx 思路: ①用母函关系证: 答:M!∵只适于v=n ②用积分式证? Mo!:它来源于母函,=n ③用级数表示证?
二、递推公式 1． -1 - - 1 ( ) ( ) (1) ( ) - ( ) (2) d x J x x J x dx d x J x x J x dx n n n n n n n n + ì é ù = ï ë û ï í ï é ù = ï ë û î 思路： ①用母函关系证： 答：No！∵ 只适于 ②用积分式证？ No！∵ 它来源于母函，. ③用级数表示证？ n = n n = n