§1.2 Legendre多项式的性质 +4 一、母函数关系式 注:若v(x2)=∑F(x) 则称(x,)为Fn(x)的母函数 2=3( v1-2xt
§1.2Legendre多项式的性质 一、母函数关系式 q r l + 4pe 0 d M (r,q ,j) ( ) ( ) 0 1 , 1 2 1- 2 l l l P x t t xt t ¥ = = < å + * ( ) ( ) ( ) ( ) , , n n n n w x t F x t w x t F x 注：若 = å 则称 为 的母函数
物理背景:设在单位球北极有电量为 4s的正电荷则在r<1内任一点电位x满足 △=0(A)r<1 令(r,0)=R(r)⊙() 则△u=0→ r2R"+2rR-l(+1)R=0 -x)y2xy+1(+)y=0[x=cos0,y(x)=(0)
物理背景：设在单位球北极有电量为 4 1 0 pe 的正 荷电 则, 在r < Du = < 0 1 ( A r) 令u (r,q q ) = Q R r( ) ( ) 则Du = ®0 ( ) 2 r R¢¢ ¢ + 2rR - l l R + = 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1- x y ¢¢ ¢ - 2xy + l l +1 y = 0,é ù ë û x = cos , q q y x = Q 内 任 一 位 点 电 满u 足
R, (=cr+d, rt+) y(r)=P(r) ∴P<上:L (,0)=∑crP(x)( 米 =0 (这一结果后面例子要用) 又如图所示:d arcose+r 1 ∵X=cosO ∑crP(x)B) 2rx t l=0
( ) l - 1 (l ) Rl l l r c r d r + = + ( ) ( ) l y x = P x ( ) ( ) ( ) 0 1: , l l l l r u r q c r P x ¥ = \ < = å * * (这一结果后面例子要用) 又如图所示: 2 1 1 1- 2 cos u d r r q = = + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 cos 1- 2 l l l l x c r P x B rx r q ¥ = = \ = å + Q
取x=1, 1 =∑cr 2rtr 21=0 即,=∑ 1-r1=0 亦即∑r=∑cr,c=1=0 =0 =0 于是 ∑P(x)r,(r<1) 2rx+r 更一般 √-2x+12 ∑P(x)t,1<1
2 0 1 1, 1- 2 l l l x c r r r ¥ = = = å + 取 ( ) 0 1 1 1- l l l c r r r ¥ = 即 = < å Q ( ) ( ) 2 0 1 , 1 1- 2 l l l P x r r rx r ¥ = = < å + 于是 0 0 , 1, 0,1,... l l l l l l r c r c l ¥ ¥ = = 亦即å å = º = ( ) 2 0 1 : , 1 1- 2 l l l P x t t xt t ¥ = = < å + 更一般
此式的成立与的选取无关,即将换成k或m仍成立。只要 k,m=0,1,2, 问:能否用其他方法证明此式? 从数学上看此式右边是左边 的泰勒展开,其中/(是展系数故 ()求出左边以为中心的解析圆M<士y2 (2)在此园内将 进行T展 art ()求其展开系数,与P(x)已知的形式 对照若一致即证明
(此式的成立与l的选取无关，即将l换成k或m仍成立。只要 k,m=0,1,2,…) 问：能否用其他方法证明此式? P ( ) x T l 答： 上看此式右 是左 的泰勒展 ，其中 是 展系 故 从数学 边 边 开 数 ( ) 2 1 .求出左边以0为 圆 中心的解析 t < ± x x -1 ( ) 2 1 2 1 - 2 T rt t + .在此 行 圆内将 进 展 (3 .) P x( ) l 求其展 系 ，与 已知的形式 照若一致即 明 开 数 对 证