第四章线性空间 线性空间是数学中最基本的概念之一,线性空间理论不仅是高等代数的核心,而且广泛渗透到各自然 科学,工程技术,经济管理科学中.因而线性空间理论既是现代数学的支柱又是应用广泛的理论 线性空间又叫向量空间,在一定意义上说,线性空间是几何学特别是解析几何学的推广与升华.解析 几何学为抽象的线性空间提供了一个具体,生动,有血有肉的模型.而线性空间则是解析几何的灵魂 106
4.1向量及其线性运算 将平面解析几何的思想,方法用于立体几何学的研究,就是空间解析几何学.因而与平面解析几何学 样,空间解析几何学的最基本的研究对象也是向量.当然,这里向量是包括平面向量在内的空间向量 向量(又称矢量)是既有长度又有方向的量 例如力,速度,加速度等均是向 又如A,B是空间中两点所谓以A为始点,B为终点的向量,是指连接A,B的有向线段 作图时,在线段AB上画一个指向B的箭头, 将此向量记为 的长度为线段AB的长度,即A与B的距离,以团AB表示 零向量长度为零的向量,即始点与终点重合的向量.零向量的方向不确定,可按需要取任意方向 如果能将向量AB平行移动到向量AB,即 AABB, ABAB 则称向量AB与AB相等记为AB=AB.换句话说,相等的向量有相同的长度与方向 如果把相等的向量看成是同一的,即只考虑长度和方向而始点可任意选取,因而位置不固定的向量称 为自由向量 以后常用一个字母表示自由向量.特别,零向量表示为 如二向量长度相等,方向相反,则称它们是相反向量,或互为反向量,负向量.例如向量AB的反 向量为BA.一个(自由)向量a的负向量是唯一的,记为-a.即BA=-AB.显然 如果几个向量平行同一直线,则称它们共线.如果几个向量平行同一平面,则称它们共面.显然, 任意两个向量一定共面 向量的线性运算是指下面两种运算 1.向量与向量的加法设a,B为空间两个向量在空间任取一点O,作O 以O为始点,B为终点的向量OB为与B的和记为a+,即OB=a+B.称此运算为 向量的加法
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容易证明,α+β与O的选取无关 2.向量与数的乘法设c为向量,k∈R.k与a的积是满足下面两个条件的向量 1)|ka=|k·lal; 2)若k>0,则ka与a同向,若k<0,则k与a反向 从条件1)知,k=0或a=0时,ka=0. 定理1空间所有向量的集合对于向量的线性运算满足下面八个条件: 1)a+B=B+ 2)(a+B)+Y=a+(6+y); 3)0+a=a; 6 k(la)=(kl)o 7)(k+la=ka+la 8)k(a+B)=ka+kB 在上述八个条件中,,B,y表示向量.k,l表示实数 证1)在空间任取一点O,作OA=,AB=BOA=B,A1B=a.由于OAA1B1 OA=A1B1,故 OALAB, OA=AB 因而B与B1重合.即 a+B=B+a=0B IBI 2)在空间任取一点O.作OA=,AB=B,BC=.于是AC=B+,OB 因而 (a+B)+y=a+(B+) A
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3),4)及5)是显然的 6)a,k,l中有一个为0,则k(la)=(k)a=0.设a≠0,k≠0,1≠0.此时 k(lc)=|k|·|4·lal=|k·|al=|(k)al 若k>0,1>0.则k>0.k(a)与(kla都与a的方向相同.因而它们同向 若k<0,l<0,则k>0.(ka与a同向.la与a反向,k(lax)与la反向,故与 同向,也与(kDa同向 若k<0,l>0,则k<0.(k)a与a反向.la与a同向.k(lax)与lo反向,也与 反向,故与(k)a同向 若k>0.,l<0,则k<0.(kDa与a反向.k(la)与l同向.而la与a反向.因而 k(la)与a反向,于是与(ka同向 总之,在所有可能的情况下6)均成立 7)k,l,a有一为0时,7)自然成立.故设k,l,a都不为 若kl>0,则(k+D)a,ka,la及ka+la四个向量方向相同.且 lka+la= ka+lo 若M<0,则(k+)a与ka,la中长度大者同向.同样,ka+lo也与ka,lo中长度大者 同向.故(k+0a与ka+lo同向.且 (k+l)a=+l·lal=|k-|4 kal-|ol=|k-|2l·lal 故在所有情形7)成立 8)若a,B,k中有为0者,8)自然成立.故设a≠0,B≠0,k≠0 若k>0.在空间取O,O,分别作OA=,OA=k;AB=B,AB kB.于是 B=a+B,OB=ka+kB.如下图 显然,△OAB~△OAB.于是|k+k=ka+B.且OB与OB同向.故k(a+B) 其次,显然有(-1 B 若k<0,则 ka+B)=(-1)·|k|(a+B) (-1)·(kx+|k)==ka-|l = ka+kB 即8)成立 109
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4.2坐标系 连接几何与代6的纽带0在空间建图坐标系,从而使几何问题代6化.这0解3几何的核而本节所 建图坐标系 定理一设闻B,0三个不共面的别为则对任,别为6有唯,的,组实6k,l,m使得 6△k间~lB~my 证在空间任取,点O/过O作直线a,量C分别平行间B,/并作OP△6/分间B, 不共面.故a,量C不在,个平面内.过P点作三个平面分别平行O量,Oca,Oa量它们与a,量c 的交点分别8K,D,M·如下图 此0有唯,的k,l,m∈R使得OK△kOL△lB.OM△m?/而)(-)成图 若k,7,m’∈R)6△k间~B~my·则 (k-k)间~(-)~(m-m)△→ 分间B,y不共面,知k-k△l-V△m-m△-/故知k,l,m0唯,的 定义一空间中三个不共面的别为间B,y叫空间的,个坐标系(或,组基)/若别为6△ k间~1B~m则称(186在且间By下的坐标/k间lB,m?称86(在间方别 方别,Y方别)的分,/ 6在且闻B,Y下的坐标,我们下作crd(6;间β,y)/不混淆时,下8crd6.即 d(6;间β,)△ 分定理一知,取定且间β,Y后.每个别为6都有唯,的坐标crd∈R×/反之,对任 X∈R3×1·有唯,别为成X8其坐标 crd(61~2) crd(k6)△kcrd
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