和二项分布相比 项分布是放回抽样,而超几何分布是不放回 抽样 当在不放回抽样时,超几何分布中的N1N相当 于二项分布中的参数,MN相当于二项分布 中的q=1-p 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个 0-1分布的随机变量的和,=1,2,,n,与表示第 i次抽样抽到第一类元素的事件的次数,根据 抽签原理P(=1)=N1/N,但如果,与与相互 之间是不独立的
7 和二项分布相比, 二项分布是放回抽样, 而超几何分布是不放回 抽样. 当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1 /N相当 于二项分布中的参数p, N2 /N相当于二项分布 中的q=1−p. 超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个 0-1分布的随机变量xi的和, i=1,2,...,n, xi表示第 i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据 抽签原理P(xi=1)=N1 /N, 但如果ij, xi与xj相互 之间是不独立的
计算超几何分布的数学期望 因为可看作n个相互并不独立但仍然服从同 样的0-1分布的随机变量51,2…,n的和 =51+52+…+m,其中 E1=p=,i=1,2,,n N 因此E=(5=∑E5=m2=nN 可以认为超几何分布的数学期望与二项分布 的一样
8 计算超几何分布的数学期望 因为x可看作n个相互并不独立但仍然服从同 样的0-1分布的随机变量x1 ,x2 ,...,xn的和, x=x1+x2+...+xn , 其中 N N E E E np n i n N N E p n i i n i i i 1 1 1 1 , 1,2, , = = = = = = = = = x x x x 因此 可以认为超几何分布的数学期望与二项分布 的一样
计算磁的方差 因ξ服从0-1分布,则2也服从同样的0-1分布 则E2=N1N=E,当法时,5也服从0-1分布, P(5;=1) N1(N1-1) N(N-1) 而E2=E(51+…+5n)2 E(5151+5122+…+519n+ +9251+5252+…+925n+ +n51+n2+…+5n9n)
9 计算x的方差 因xi服从0-1分布, 则xi 2也服从同样的0-1分布, 则Exi 2=N1 /N=Exi , 当ij时, xixj也服从0-1分布, ) ( ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n i j E E E N N N N P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + = + + + + = + + = − − = = 而 = Exi
因此 N E=n+(n2-n) N1(N1-1) N N(N-1) D2=E2-(E2)2= Ny+(n-n) N,(N,-1) N N(N-1) N M N-n M-n NNN=npq N-1
10 因此 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 − − = − − = − − − = + − = − = − − = + − N N n npq N N n N N N N n N N n N N N N n n N N n D E E N N N N n n N N E n x x x x
也可以直接用定义来计算E和D 1-n E5=∑mP(=m)=∑m MN 0 N,! n-m m= m!(N-m)!2 N (1-1) CMm(m-1)(M1-m)! 令k=m-1则 N n-1-k N E n-1 N-1 nk=0 N N
11 也可以直接用定义来计算Ex和Dx N N C n C N C C C N E k m C m N m N C N C m N m N m C C C C E m P m m n n N N n k N n k k n N N n m n m n N N n m n m n N N n m n N n m N m N n m 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 1 2 1 ( 1)!( )! ( 1)! !( )! 1 ! ( ) = = = = − − − − = − = = = = = − − − − − = − = − = − = − = x x x 令 则