吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第二章 矩阵（负责人：黄万风）

10 例2设 49丹 求C=AB和D=BA 解因为A是2×3矩阵，B是3×2矩阵，所以A与B可以相乘， 乘积矩阵是2×2矩阵；B与A也可以相乘，乘积矩阵是3×3矩阵 C=AB 4w》2t2-8 1×1+3×0+1×(-1) 1x0+3×2+1×1 ：1 2+00+0-1+0 由此可见，矩阵的乘法没有交换率。 12

12 例2 设           − =       − = 1 1 0 2 1 0 , 1 3 1 2 0 1 A B 求 C AB D BA = = 和 . 乘积矩阵是 矩阵； 与 也可以相乘，乘积矩阵是 矩阵． 解 因为 A 是2×3矩阵， B 是3×2矩阵，所以 A 与 B 可以相乘， 2 2 2 1 0 0 ( 1) ( 1) 2 0 0 2 ( 1) 1 3 1 ; 1 1 3 0 1 ( 1) 1 0 3 2 1 1 0 7 C = ΑΒ      +  + −  −  +  + −  − = ==          +  +  −  +  +  B A 3 3 1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 2 0 2 0 6 0 2 2 6 2 . 1 3 1 1 1 2 1 0 3 1 1 1 3 2 D       + + − + −    −     = = + + + =                      − − + + + − 由此可见，矩阵的乘法没有交换率

-o-6小-2- 求AB,AC和DE 解根据矩阵乘法的定义，有 北89 c899 s:88-a 由此可见，AB=AC,但B≠C,即矩阵的乘法没有消去率；两个非 14 零矩阵的乘积可能是零矩阵

14 例3 设 0 0 1 2 2 1 1 1 1 2 , , , , , 2 1 1 0 3 2 2 2 1 2 A B C D E           − = = = = =                     − − 求 AB AC DE , . 和 解 根据矩阵乘法的定义，有 0 0 1 2 0 0 , 2 1 1 0 1 4 AB       = =             − 0 0 2 1 0 0 , 2 1 3 2 1 4 AC       = =             − − 2 2 1 1 1 2 0 0 . 2 2 1 2 0 0 DE O        − = = =             − 由此可见，AB AC B C =  , , 但 即矩阵的乘法没有消去率；两个非 零矩阵的乘积可能是零矩阵

在矩阵的乘法运算中必须注意： 1°交换律不成立.当A与B可乘时，B与A却未必可乘.即使 AB,BA都有意义，二者也未必相等， 2°消去律不成立，即当AB=AC时，未必有B=C, 3°两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 矩阵乘法满足如下算律（假设运算都是可行的）： (AB)C=A(BC). ii A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC: iii (kA)B=A(kB)=k(AB) (其中k为数). 如果矩阵A,B满足AB=BA,则称矩阵A,B是可换的.显然，可 换的矩阵必是同阶方阵. 15

15 在矩阵的乘法运算中必须注意： 1°交换律不成立．当 与 可乘时， 与 却未必可乘．即使 都有意义，二者也未必相等． A B B A AB,BA 2°消去律不成立，即当 AB AC = 时，未必有 B = C ． 3°两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵． 矩阵乘法满足如下算律（假设运算都是可行的）： i , ii ； iii （其中 为数）． (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC,(A+ B)C = AC + BC (kA)B = A(kB) = k(AB) k 如果矩阵 满足 ，则称矩阵 是可换的．显然，可 换的矩阵必是同阶方阵． A,B AB= BA A,B

四、矩阵的转置 定义6对于m×n矩阵 a11 a12 a21 a22 A= am2 把A的行换成同序数的列所得到的矩阵 az … a12 a22 a2n amn- 称为A的转置矩阵，记作A或AT」 16

16 四、矩阵的转置 把 的行换成同序数的列所得到的矩阵 定义6 对于 m n 矩阵             = m m m n n n a a a a a a a a a        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A A             n n m n m m a a a a a a a a a        1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 称为 的转置矩阵，记作 A 或 ． T A A

显然，当A是m×n矩阵时，A的转置矩阵A'是n×m矩阵 矩阵的转置也是关于矩阵的一种运算，它满足如下算律： i(A')'=A; ii(A+B)}'=A'+B'; ii(kA)y=kA'(其中k为常数)； iv (AB)'=B'A'. 证明iV设A=[a,]m,B=[b,]xn,C=AB=[c],D=B'A'=[d,],则C',D 均为n×m矩阵，又C'的(i,J)元是C,现证 c=dn(i=1,2,…n,j=1,2,…m) 由矩阵的乘法运算规则，得 b a Ci=(a1,aj2,…,0n) b2i =di i=1,2,…, j=1,2,…,m. 1> an

17 显然，当 A 是 m n 矩阵时， A 的转置矩阵 A 是 n m 矩阵 矩阵的转置也是关于矩阵的一种运算，它满足如下算律： i (A) = A ； ii (A + B) = A + B ； iii ( (kA) = kA 其中 k 为常数）； 由矩阵的乘法运算规则，得 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1, 2, , ; ( , , , ) ( , , , ) , 1, 2, , . j i l i j ji j j jl jk ki i i li ij k li jl b a b a i n c a a a a b b b b d j m b a =             =   = = = =         =            iv (AB) = BA ． 证明 iv 设 [ ] , [ ] , [ ], [ ], A a B b C AB c D B A d ij m l ij l n ij ij   = = = = = =   则 C D , 均为 n m 矩阵，又 C 的 ( , ) i j 元是 c ji , 现证 ( 1,2, ; 1,2, ). ji ij c d i n j m = = =