吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第二章 矩阵（负责人：黄万风）

显然有 A+(-A)=O 由此可定义两个同型矩阵的减法为 A-B=A+(-B). 二、数乘矩阵 定义4数k与矩阵A的乘积记作k4或Ak,规定 kan ka2 kan kA=Ak= kaz ka22 ka2n kam 即数乘矩阵A等于用这个数k遍乘矩阵A的每一个元素. 7

7 显然有 ． 由此可定义两个同型矩阵的减法为 ． A + (−A) = O A − B = A + (−B) 二、数乘矩阵 定义4 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定 ， 即数乘矩阵 A 等于用这个数 k 遍乘矩阵 的每一个元素． kA Ak             = = m m m n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka k k        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A A k A A

数乘矩阵满足下列算律（设A与B是同型矩阵，k,是常数）： i k(A)=()A: iⅱ (k+1A=kA+lA; ii k(A+B)=kA+kB. 通常我们把加法和数乘这两种运算统称为线性运算. 例1设3×4矩阵 [1 01 2 -2101 A= 2 3 -1 ,B= 1111 -1 2 13 3021 求3A,3A-2B和3A+B 解据定义4，有 0 3 6》 [-4 20 2] 3A= 6 9 -3 6 2B= 2 22 2 -36 3 9 16 04 2

8 数乘矩阵满足下列算律（设 与 是同型矩阵， 是常数）： i ； ii ； iii ． A B k,l k(lA) = (kl)A (k + l)A = kA + lA k(A + B) = kA + kB 通常我们把加法和数乘这两种运算统称为线性运算． 例1 设 3 4 矩阵           − = − 1 2 1 3 2 3 1 2 1 0 1 2 A 2 1 0 1 1 1 1 1 3 0 2 1   −   =       ，B ， 求3 , 3 2 3 . A A B A B − + 和 据定义4，有 ， ，           − = − 3 6 3 9 6 9 3 6 3 0 3 6 3A 4 2 0 2 2 2 2 2 2 6 0 4 2 B   −   =       解

则有 3 0 3 6） -4 2 0 2 3A-2B= 6 9 -3 6 2 2 2 -3 63 9 6 042 「7 -2 3 4 4 7 -5 4 9 6 -1 7 3 0 3 6 -21 0 1 3A+B= 6 9 -3 6 1 1 1 1 -3 6 393 021 1 1 3 7 7 10 -2 7 0 6 5 10 9

9 ， 则有 3 0 3 6 4 2 0 2 3 2 6 9 3 6 2 2 2 2 3 6 3 9 6 0 4 2 7 2 3 4 4 7 5 4 9 6 1 7 A B     −     − = − −             −   −   = −       − − ， 3 0 3 6 2 1 0 1 3 6 9 3 6 1 1 1 1 3 6 3 9 3 0 2 1 1 1 3 7 7 10 2 7 0 6 5 10 A B     −     + = − +             −     = −       

三、矩阵的乘法 定义5设A=[a,]是mxI矩阵，B=b,]是×n矩阵，那么规定矩阵A 与B的乘积是一个m×n矩阵C=[c,]，其中 Cg=ab+a2b2,+…+ab =2a.6,i=12.,m:j=12.…m 并把此乘积矩阵C记作AB. 由定义5可知，只有当前一矩阵A的列数等于后一矩阵B的行数 时，两个矩阵才能相乘，此时也说A与B具有可乘性. 乘积矩阵C的行数与A的行数一致，列数与B的列数一致. 10

10 三、矩阵的乘法 定义5 设 是 矩阵， 是 矩阵，那么规定矩阵 与 的乘积是一个 矩阵 ， [ ] ij A = a ml [ ] ij B = b l  n A B m n [ ] ij C = c 其中 并把此乘积矩阵 记作 ． ( 1,2, , ; 1,2, ), 1 1 1 2 2 a b i m j n c a b a b a b l k ik kj ij i j i j il lj    = = = = + + + = C AB 由定义5可知，只有当前一矩阵 的列数等于后一矩阵 的行数 时，两个矩阵才能相乘，此时也说 与 具有可乘性． A A B B 乘积矩阵 C 的行数与A 的行数一致，列数与 B的列数一致．

因此，一个1×1矩阵与一个1×1矩阵的乘积是1阶方阵， 也就是一个数： (a1,a2,…,a1） =(a1by+a2b2,+…+ab) 由此表明，乘积矩阵C=AB的第i行第j列元素C,就是A的第行 与B的第，列的乘积，换言之，c,-工6，是A的第1行与B的第 列元素的“对乘加”· 11

11 因此，一个 矩阵与一个 矩阵的乘积是1阶方阵， 也就是一个数： 1l l 1 , ( , , , ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 ij l k ik kj i j i j il lj lj j j i i il a b c a b a b a b b b b a a a = = = + + +             =    由此表明，乘积矩阵 的第 行第 列元素 就是 的第 行 与 的第 列的乘积．换言之， 是 的第 行与 的第 列元素的“对乘加”． C = AB i j ij c A i j  B = = l k ij aikbkj c 1 i A B j