由此可以想到,如果在每个小区间[x1x]上任意取点5∈[x1x], 并构造以h为底、以f(5)=52为高的小矩形,则所有这些小矩形的面 积之和为∑52,显然仍然有 令n→∞,由极限的夹逼性,得到im:2=,就是所求的曲边三 n→ 角形的面积。 f()
由此可以想到，如果在每个小区间 ],[ 1 ii xx − 上任意取点ξ i ∈ ],[ 1 ii xx − ， 并构造以h为底、以 2 )( ii f = ξξ 为高的小矩形，则所有这些小矩形的面 积之和为 ∑ = n i i n 1 1 2 ξ ，显然仍然有 ″ ≤≤ ′ ∑ = n n i n i S n S 1 1 2 ξ ， 令n → ∞，由极限的夹逼性，得到 311 lim 1 2 ∑ = = ∞→ ni i n n ξ ，就是所求的曲边三 角形的面积。 y=f(x) f i ( ) ξ 0 xi-1 xi 1 x y
利用上述思想,我们来求由连续曲线y=f(x)(假设f(x)>0), 直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积(图7.1.3) 在[a,b中取一系列的分点x,作成一“种划分 P: a=x<x,<x<<x=b 记小区间[x21,x的长度为 △x1=x1 并在每个小区间上任意取一点,用底为Ax,高为f(5)的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积 y-f() f(3,) 图713
利用上述思想，我们来求由连续曲线 y fx = ( )（假设 f x( ) > 0）， 直线 x = a ， x = b 和 x轴围成的曲边梯形的面积（图7.1.3）： 在[, ] a b 中取一系列的分点 xi，作成一种划分 P：ax x x x b = <012 < < " < n = ， 记小区间[ ,] x x i i −1 的长度为 Δxxx i ii = − −1， 并在每个小区间上任意取一点 ξi ，用底为 Δxi，高为 )( i f ξ 的矩形面积近 似代替小的曲边梯形的面积。 图7.1.3 Δxi i ξ y =f(x ) f i ( ) ξ 0 a xi-1 xi b x y
那么这些小矩形面积之和 ∑f(5)Ax 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令λ=max(△x),当λ→0时,若 极限 in∑f(51)x 存在,那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 y-f() f(3,)
那么这些小矩形面积之和 ∑= Δ n i ii xf 1 ξ )( 就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 )(max 1 i ni = Δx ≤≤ λ ,当 λ → 0 时，若 极限 ∑= → Δ n i ii xf 1 0 ξ )(limλ 存在，那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 Δxi i ξ y =f(x ) f i ( ) ξ 0 a xi-1 xi b x y
在许多其他领域的研究中,也大量地遇到诸如此类的和式的极限 可题。比如,求一个以速度v(t)做变速运动的物体从时间t=7到时间 t=T2所走过的路程S,可以先在时间段[T,2中取一系列的分点t, 作成划分 P:T=10<1<l2x…<tn=12, 并在每个小区间[t,上随意取一点5,只要时间间隔 充分小,v(5)就可以近似地看作是在[1,时间段中的平均速度,因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v(ξ,)AM,于是整个路程就近似 等于 ∑v()M1 若当λ=max△1)→0时,极限 ∑v(5)△M 存在,那么这个极限就是所要求的路程S的精确值
在许多其他领域的研究中，也大量地遇到诸如此类的和式的极限 问题。比如，求一个以速度v t( )做变速运动的物体从时间t T = 1到时间 t T = 2所走过的路程 S ，可以先在时间段[, ] T T 1 2 中取一系列的分点 ti ， 作成划分 P：Tt tt t T 1012 = < < < " < n = 2， 并在每个小区间[ ,] t t i i −1 上随意取一点 ξ i，只要时间间隔 Δttt i ii = − −1 充分小， )( i v ξ 就可以近似地看作是在[ ,] t t i i −1 时间段中的平均速度，因 此在这段时间中走过的路程近似地等于v t i i ( ) ξ Δ ，于是整个路程就近似 等于 ∑= Δ n i ii tv 1 ξ )( 。 若当 λ = → ≤ ≤ max( ) 1 0 i n i Δ t 时, 极限 ∑= → Δ n i ii tv 1 0 ξ )(limλ 存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值
定积分的定义 定义7.1.1设f(x)是定义于{a,b上的有界函数,在[,b上任意 取分点{x}0,作成一种划分 P: a=x<x, <x b 并任意取点∈[x,x]。记小区间区x,x的长度为Ax1=x-x1,并令 λ=max(△x,),若当λ→0时,极限 im∑f(5)Ax 存在,且极限值既与划分P无关,又与对的取法无关,则称∫(x)在 a,b]上 Riemann可积。和式 ∑f(5)x 称为 Riemann和,其极限值称为f(x)在[a,b上的定积分,记为 I= f(x)dx 这里a和b分别被称为积分的下限和上限
定积分的定义 定义7.1.1 设 f x( )是定义于[, ] a b 上的有界函数，在[, ] a b 上任意 取分点{ } xi in=0 ，作成一种划分 P： ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 并任意取点ξ i ∈ [ ,] x x i i −1 。记小区间[ ,] x x i i −1 的长度为Δxxx i ii = − −1，并令 λ = ≤ ≤ max( ) 1 i n i Δx ，若当λ → 0时，极限 ∑ = → Δ n i ii xf 1 0 ξ )(limλ 存在，且极限值既与划分P无关，又与对ξ i 的取法无关，则称 f x( )在 [, ] a b 上Riemann可积。和式 1 ( ) n i i i f ξ x = ∑ Δ 称为Riemann和，其极限值 I 称为 f x( )在[, ] a b 上的定积分，记为 I ＝ ( ) b a f x x ∫ d ， 这里a 和b 分别被称为积分的下限和上限