第一节常数项级数的概念 问题的提出 级数的概 三、基本性质 四、收敛的必要条件 五、柯西收敛原理 六、小结
第一节 常数项级数的概念 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、级数的概念 ◼ 三、基本性质 ◼ 四、收敛的必要条件 ◼ 五、柯西收敛原理 ◼ 六、小结
问题的提出 1.计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积a1+a2+…+mn A≈a1+a2+…+mn 133 3 3 2 3101001000 10
一、问题的提出 1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a a1 + a2 正 形的面积 n 32 a1 + a2 ++ an n A a + a ++ a 即 1 2 = + + ++ n + 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2
级数的概念 1.级数的定义: L一般项 o ∑ Ln=W1+W2+M2+…+Ln,+ =1 (常数项)无穷级数 级数的部分和 s =u+u, +.tu n ∑ 部分和数列 S1=W1,S2=l1+l2,S3=l1+l2+l3,… l1+l2+…+Ln
二、级数的概念 1. 级数的定义: = + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3 sn = u1 + u2 ++ un ,
2.级数的收敛与发散 当n无限增大时如果级数∑un的部分和 数列s,有极限s,即 lim s=s则称无穷级数 n→0 co ∑un收敛这时极限叫做级数∑un的和并 1= 写成S=L1+u2+…+L2+ 如果没有极限则称无穷级数∑n发散
2. 级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数 n=1 un 的部分和 数 列 n s 有极限s, 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 un 收 敛,这时极限s叫做级数 n=1 un 的 和.并 写 成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 un 发散
即常数项级数收敛(发散)lims,存在(不存在) 余项r=S-Sn=Ln+1+un2+…=ln 即Sn≈S误差为rn(imrn=0 n→ 无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花
即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．