第四节函数展开成幂级数 泰勒级数 函数展开成幂级数 三、小结
第四节 函数展开成幂级数 ◼ 一、泰勒级数 ◼ 二、函数展开成幂级数 ◼ 三、小结
泰勒级数 co 上节例题∑(-1)21 ln(1+x)(-1<x≤1) f(x)=∑an(x-x)y存在幂级数在其收敛 域内以(x)为和函数 =0 问题:1.如果能展开,n是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U6(x)内具有任意阶导 数,且在U2(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑an(x-x0) 则其系数an=,f((x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∵∑a(x-x)在n(x)内收敛于f(x即 f(x)=a0+an1(x-x)+…+an(x-x)”+
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f(x=nlan+(n+1)n.3.2an+i(x-xo)+ 令x=x,即得 fn(x0)(mn=0,1,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 ∑!1(x-x0)y称为f(x)在点x的泰勒级数 H=0 ∑ x"称为∫(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 n! 问题f(x)?∑ f(m(xo(x-xo 泰勒级数在收敛区间是否收敛于八x)?不一定
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定