第二节可分离变量的 微分方程 可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
第二节 可分离变量的 微分方程 ◼ 一、可分离变量的微分方程 ◼ 二、典型例题 ◼ 三、小结
可分离变量的微分方程 g(y)=f(x)t可分离变量的微分方程 例如中 2x 25→ y5小=2x2x, 解法设函数g(y)和f(x)是连续的, g()dy=f(x)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法
典型例题 例1求解微分方程=2xy的通解 解分离变量=2xkx, 两端积分 rdx In y=x+Cl y=Ce为所求通解
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解 二、典型例题
例2求方程∫(xy)ykx+g(xy)xdy=0通解 解令=0,则d=xz!+ydx, f(uydx+g(ux ydx lf(u)()-dr+gudu=0. x ulf(u-gl du=0, 通解为Imx|+ g(u) du= c uf(u)g(u)
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 通解为 解
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M1=0=M,求衰变过程中铀含量M( 随时间t变化的规律 解衰变速度 dM 由题设条件 dM M(A>0衰变系数) dM dt Mdt ∫n=-A,lmM=X+lnC,即M=Ce 代入MA=0=M得M0=Ce"=C, M=Mo 衰变规律
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律