第四节反常积分 一无穷限的反常积分 ■二无穷函数的反常积分
第四节 反常积分 ◼ 一 无穷限的反常积分 ◼ 二 无穷函数的反常积分
无穷限的反常积分 定义函数fx)在区间[a+∞)上连续,取ta 若函数lim[f(x)lx t→)+00Ja 存在,则称此极限为函数fx) 在无穷区间[a,+∞)上的反常积分,记为 。f(x)dx 若上述极限存在,也称反常积分收敛,反之 若上述极限不存在,也称反常积分发散
◼ 一 无穷限的反常积分 定义 函数f(x)在区间 上连续，取 t>a, 若函数 存在，则称此极限为函数f(x) 在无穷区间 上的反常积分，记为 若上述极限存在，也称反常积分收敛，反之 若上述极限不存在，也称反常积分发散。 [ , ) a + lim ( ) t t a f x dx →+ [ , ) a + a + ( ) a f x dx +
性质若F(x)为函数fx)在区间[a+∞)上的原函 数,若limF(x)存在,则 x→)+00 +0 f(x)ax=F(x)=lim F(x)-F(a X=a x→)+ ■例1 dx ∞1+x arctan x= lim arctan x- lim arctan x
◼ 性质 若F(x)为函数f(x)在区间 上的原函 数，若 存在，则 ◼ 例1 [ , ) a + lim ( ) x F x →+ ( ) ( ) lim ( ) ( ) a x a x f x dx F x F x F a + + = →+ = = − 2 1 arctan lim arctan lim arctan ( ) 2 2 x x x dx x x x x + − + =− →+ →− + = = − = − − =
例2证明 ≤1 时 x(Inx 发散 >1 时 收敛 证当元=1 时 x(nx dx too d Inx In(In x) 2xlnx√2ln 当≠1时 too d lnx 1 =+∞,(<1) (In x)32(In x)/1-n (In x) +0 (>1) 1-1(mxy2 1=2 -1(n2)2
◼ 例2 证明 时， 发散 时， 收敛 证 当 时， 当 时， 1 2 (ln ) dx x x + 2 (ln ) dx x x + 1 =1 2 2 2 ln ln(ln ) ln ln x dx d x x x x x + + + = = = = + 1 1 2 2 2 ln 1 1 , ,( 1) (ln ) (ln ) 1 (ln ) x dx d x x x x x + + + − = = = + − 1 1 2 1 1 1 1 ,( 1) 1 (ln ) 1 (ln 2) x + − − = = − − =
例3求反常积分 K e sin xdx COSX 0 +∞ e cosx e cos xa x=0 1-e x=1-(e x sin x+ e sin xdx) x=0 1-K→ k=== esin xdx
例3 求反常积分 0 0 0 0 0 0 0 0 sin ( cos ) cos cos 1 sin 1 ( sin sin ) 1 1 sin 2 x x x x x x x x x x K e xdx e d x e x e xdx e d x e x e xdx K K e xdx + + − − + + − − = + + + − − − = + − = = − = − − = − = − + = − = =