第四节平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结
第四节 平面曲线的弧长 ◼ 一、平面曲线弧长的概念 ◼ 二、直角坐标情形 ◼ 三、参数方程情形 ◼ 四、极坐标情形 ◼ 五、小结
设A、B是曲线弧上的两 线瓢长的概念 个端点,在弧上插入分点 M B=M A=M M 09119 i5 9n-1 M=B n 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑M11M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长
o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
一设出委狐坐请形 (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+x 0 a xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长dx)2+(小)2=1+y2x 弧长元素=+p弧长s=1+y2k
设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形
3 例1计算曲线y=x2上相应从到b的一段 3 弧的长度 解∵y=x ∴d=√1+(x2)=√1+x 所求弧长为 I(1+b)2-(1
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x 从a 到b 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线y= %nmn60的弧长(0sx≤mm) 解y =n sin SIn n s=、1+ 2 nTC tsin =dx x= nt ri √1+sint.ndt 0 2 SIn cos -+2sin-cos-dt 22 T n sin -+cOS =4n 0 2
例 2 计算曲线y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n